Фундаментальная лемма об инкрементах - Википедия - Fundamental increment lemma

В одной переменной дифференциальное исчисление, то основная лемма об инкрементах является непосредственным следствием определения производная ж'(а) из функция ж в какой-то момент а:

{ displaystyle f '(a) = lim _ {h to 0} { frac {f (a + h) -f (a)} {h}}.}

Лемма утверждает, что из существования этой производной следует существование функции ${ displaystyle varphi}$ такой, что

{ displaystyle lim _ {h to 0} varphi (h) = 0 qquad { text {and}} qquad f (a + h) = f (a) + f '(a) h + varphi (h) h}

для достаточно малых, но ненулевых час. Для доказательства достаточно определить

{ displaystyle varphi (h) = { frac {f (a + h) -f (a)} {h}} - f '(a)}

и проверьте это ${ displaystyle varphi}$ отвечает требованиям.

Различимость в высших измерениях

В том, что существование ${ displaystyle varphi}$ однозначно характеризует число ${ displaystyle f '(а)}$ , можно сказать, что основная лемма об инкрементах характеризует дифференцируемость функций одной переменной. По этой причине можно использовать обобщение леммы при определении дифференцируемости в многомерное исчисление. В частности, предположим ж отображает некоторое подмножество ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ к ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . потом ж называется дифференцируемой в а если есть линейная функция

{ Displaystyle M: ​​ mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}

и функция

{ Displaystyle Phi: D to mathbb {R}, qquad D substeq mathbb {R} ^ {n} smallsetminus { mathbf {0} },}

такой, что

{ displaystyle lim _ { mathbf {h} to 0} Phi ( mathbf {h}) = 0 qquad { text {and}} qquad f ( mathbf {a} + mathbf {h }) = f ( mathbf {a}) + M ( mathbf {h}) + Phi ( mathbf {h}) cdot Vert mathbf {h} Vert}

для ненулевого час достаточно близко к 0. В этом случае, M - единственная производная (или полная производная, чтобы отличить от направленный и частные производные ) из ж в а. В частности, M дается Матрица якобиана из ж оценивается в а.

Смотрите также

Обобщения производной

Фундаментальная лемма об инкрементах - Википедия - Fundamental increment lemma

Различимость в высших измерениях

Смотрите также

Рекомендации