Общие ковариантные преобразования - General covariant transformations

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июль 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В физика, общековариантные преобразования находятся симметрии из теория гравитации на мировое многообразие ${ displaystyle X}$. Они есть калибровочные преобразования чьи функции параметров векторные поля на ${ displaystyle X}$. С физической точки зрения общековариантные преобразования рассматриваются как частные (голономный ) система отсчета преобразования в общая теория относительности. В математика, общековариантные преобразования определяются как частные автоморфизмы так называемых натуральных пучки волокон.

Математическое определение

Позволять ${ displaystyle pi: от Y до X}$ быть расслоенное многообразие с локальными расслоенными координатами ${ Displaystyle (х ^ { лямбда}, у ^ {я}) ,}$. Каждый автоморфизм ${ displaystyle Y}$ проецируется на диффеоморфизм своей базы ${ displaystyle X}$. Однако обратное неверно. Диффеоморфизм ${ displaystyle X}$ не обязательно вызывать автоморфизм ${ displaystyle Y}$.

В частности, бесконечно малый генератор однопараметрического Группа Ли автоморфизмов ${ displaystyle Y}$ проектируемый векторное поле

${ displaystyle u = u ^ { lambda} (x ^ { mu}) partial _ { lambda} + u ^ {i} (x ^ { mu}, y ^ {j}) partial _ { я}}$

на ${ displaystyle Y}$. Это векторное поле проецируется на векторное поле ${ displaystyle tau = u ^ { lambda} partial _ { lambda}}$ на ${ displaystyle X}$, поток которой является однопараметрической группой диффеоморфизмов ${ displaystyle X}$. Наоборот, пусть ${ displaystyle tau = tau ^ { lambda} partial _ { lambda}}$ быть векторным полем на ${ displaystyle X}$. Возникает задача построения его подъемника на проектируемое векторное поле на ${ displaystyle Y}$ проецируется на ${ Displaystyle тау}$. Такой лифт существует всегда, но он не обязательно должен быть каноническим. Учитывая связь ${ displaystyle Gamma}$ на ${ displaystyle Y}$, каждое векторное поле ${ Displaystyle тау}$ на ${ displaystyle X}$ дает горизонтальное векторное поле

${ displaystyle Gamma tau = tau ^ { lambda} ( partial _ { lambda} + Gamma _ { lambda} ^ {i} partial _ {i})}$

на ${ displaystyle Y}$. Этот горизонтальный подъемник ${ Displaystyle тау к гамма тау}$ дает мономорфизм из ${ Displaystyle C ^ { infty} (X)}$-модуль векторных полей на ${ displaystyle X}$ к ${ Displaystyle С ^ { infty} (Y)}$-модуль векторных полей на ${ displaystyle Y}$, но этот мономорфизм не является морфизмом алгебры Ли, если только ${ displaystyle Gamma}$ плоский.

Однако существует категория упомянутых выше натуральных связок. ${ displaystyle T to X}$ которые допускают функториальный подъем ${ displaystyle { widetilde { tau}}}$ на ${ displaystyle T}$ любого векторного поля ${ Displaystyle тау}$ на ${ displaystyle X}$ такой, что ${ displaystyle tau to { widetilde { tau}}}$ является мономорфизмом алгебры Ли

${ displaystyle [{ widetilde { tau}}, { widetilde { tau}} '] = { widetilde {[ tau, tau']}}.}$

Этот функториальный подъем ${ displaystyle { widetilde { tau}}}$ является бесконечно малым общековариантным преобразованием ${ displaystyle T}$.

В общем случае рассматривается мономорфизм ${ displaystyle f to { widetilde {f}}}$ группы диффеоморфизмов ${ displaystyle X}$ группе автоморфизмов расслоения натурального расслоения ${ displaystyle T to X}$. Автоморфизмы ${ displaystyle { widetilde {f}}}$ называются общековариантными преобразованиями ${ displaystyle T}$. Например, нет вертикального автоморфизма ${ displaystyle T}$ является общековариантным преобразованием.

Примеры натуральных связок: тензорные пучки. Например, касательный пучок ${ displaystyle TX}$ из ${ displaystyle X}$ является естественным пучком. Каждый диффеоморфизм ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle X}$ порождает касательный автоморфизм ${ displaystyle { widetilde {f}} = Tf}$ из ${ displaystyle TX}$ которое является общековариантным преобразованием ${ displaystyle TX}$. По голономным координатам ${ Displaystyle (х ^ { лямбда}, { точка {х}} ^ { лямбда})}$ на ${ displaystyle TX}$, это преобразование читается как

${ displaystyle { dot {x}} '^ { mu} = { frac { partial x' ^ { mu}} { partial x ^ { nu}}} { dot {x}} ^ { nu}.}$

А комплект кадров ${ Displaystyle FX}$ линейных касательных реперов в ${ displaystyle TX}$ также является естественным пучком. Общековариантные преобразования составляют подгруппу голономных автоморфизмов ${ Displaystyle FX}$. Все связки, связанные со связкой кадров, являются естественными. Однако есть естественные связки, не связанные с ${ Displaystyle FX}$.

Смотрите также

• Общая ковариация
• Теория калибровочной гравитации
• Волокнистый коллектор

Рекомендации

• Коларж И., Михор П., Словак Й., Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг, 1993. ISBN  3-540-56235-4, ISBN  0-387-56235-4.
• Сарданашвили, Г., Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения волокон, многообразия струй и лагранжева теория, Lambert Academic Publishing: Саарбрюккен, 2013 г. ISBN  978-3-659-37815-7; arXiv:0908.1886
• Сондерс, Д.Дж. (1989), Геометрия струйных пучков, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-36948-7