Обобщенные полиномы Аппеля - Generalized Appell polynomials

В математика, а полиномиальная последовательность ${ displaystyle {p_ {n} (z) }}$ имеет обобщенное представление Аппеля если производящая функция для многочлены принимает определенную форму:

${ Displaystyle К (г, ш) = А (ш) пси (zg (ш)) = сумма _ {п = 0} ^ { infty} р_ {п} (г) ш ^ {п}}$

где производящая функция или ядро ${ Displaystyle К (г, ш)}$ состоит из серии

${ displaystyle A (w) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} w ^ {n} quad}$ с ${ displaystyle a_ {0} neq 0}$

и

${ Displaystyle Psi (t) = sum _ {n = 0} ^ { infty} Psi _ {n} t ^ {n} quad}$ и все ${ Displaystyle пси _ {п} neq 0}$

и

${ Displaystyle г (ш) = сумма _ {п = 1} ^ { infty} г_ {п} ш ^ {п} квад}$ с ${ displaystyle g_ {1} neq 0.}$

Учитывая вышесказанное, нетрудно показать, что ${ displaystyle p_ {n} (z)}$ это многочлен степени ${ displaystyle n}$.

Многочлены Боаса – Бака. являются несколько более общим классом многочленов.

Особые случаи

• Выбор ${ Displaystyle г (ш) = ш}$ дает класс Полиномы Бренке.
• Выбор ${ Displaystyle пси (т) = е ^ {т}}$ приводит к Последовательность Шеффера многочленов, в которые входят общие разностные полиномы, такой как Полиномы Ньютона.
• Комбинированный выбор ${ Displaystyle г (ш) = ш}$ и ${ Displaystyle пси (т) = е ^ {т}}$ дает Последовательность апелляций многочленов.

Явное представление

Обобщенные полиномы Аппеля имеют явное представление

${ displaystyle p_ {n} (z) = sum _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} Psi _ {k} h_ {k}.}$

Постоянная

${ displaystyle h_ {k} = sum _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} cdots g_ {j_ {k}}}$

где эта сумма распространяется на все композиции из ${ displaystyle n}$ в ${ displaystyle k + 1}$ части; то есть сумма распространяется на все ${ displaystyle {j }}$ такой, что

${ Displaystyle j_ {0} + j_ {1} + cdots + j_ {k} = п. ,}$

Для полиномов Аппеля это становится формулой

${ displaystyle p_ {n} (z) = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {a_ {n-k} z ^ {k}} {k!}}.}.}$

Отношение рекурсии

Эквивалентно необходимое и достаточное условие того, что ядро ${ Displaystyle К (г, ш)}$ можно записать как ${ Displaystyle А (ш) пси (zg (ш))}$ с ${ displaystyle g_ {1} = 1}$ в том, что

${ Displaystyle { frac { partial K (z, w)} { partial w}} = c (w) K (z, w) + { frac {zb (w)} {w}} { frac { partial K (z, w)} { partial z}}}$

где ${ Displaystyle б (ш)}$ и ${ Displaystyle с (ш)}$ иметь степенной ряд

${ displaystyle b (w) = { frac {w} {g (w)}} { frac {d} {dw}} g (w) = 1 + sum _ {n = 1} ^ { infty } b_ {n} w ^ {n}}$

и

${ displaystyle c (w) = { frac {1} {A (w)}} { frac {d} {dw}} A (w) = sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} w ^ {n}.}$

Подстановка

${ Displaystyle К (г, ш) = сумма _ {п = 0} ^ { infty} р_ {п} (г) ш ^ {п}}$

немедленно дает рекурсивное отношение

${ displaystyle z ^ {n + 1} { frac {d} {dz}} left [{ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} right] = - sum _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} { frac {d } {dz}} p_ {k} (z).}$

Для частного случая полиномов Бренке имеем ${ Displaystyle г (ш) = ш}$ и таким образом все ${ displaystyle b_ {n} = 0}$, значительно упрощая рекурсивное отношение.

Смотрите также

• q-разностные полиномы

Рекомендации

• Ральф П. Боас младший и Р. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций (исправлено второе издание)(1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263.
• Бренке, Уильям К. (1945). «О производящих функциях полиномиальных систем». Американский математический ежемесячный журнал. 52 (6): 297–301. Дои:10.2307/2305289.
• Хафф, В. Н. (1947). «Тип многочленов, порожденных функцией f (xt) φ (t)». Математический журнал герцога. 14 (4): 1091–1104. Дои:10.1215 / S0012-7094-47-01483-X.