Обобщенная алгебра Клиффорда - Википедия - Generalized Clifford algebra

В математика, а Обобщенная алгебра Клиффорда (GCA) - это ассоциативная алгебра это обобщает Алгебра Клиффорда, и возвращается к работе Герман Вейль,^[1] кто использовал и формализовал эти круглосуточный операторы введены Дж. Дж. Сильвестр (1882),^[2] и организовано Картан (1898)^[3] и Швингер.^[4]

Матрицы тактовых импульсов и сдвигов находят рутинное применение во многих областях математической физики, являясь краеугольным камнем квантовая динамика в конечномерных векторных пространствах.^[5][6][7] Концепция спинор можно в дальнейшем связать с этими алгебрами.^[6]

Термин обобщенные алгебры Клиффорда может также относиться к ассоциативным алгебрам, которые построены с использованием форм более высокой степени вместо квадратичных форм.^{[8][9][10][11]}

Определение и свойства

Абстрактное определение

В п-мерная обобщенная алгебра Клиффорда определяется как ассоциативная алгебра над полем F, создано^[12]

${ displaystyle { begin {align} e_ {j} e_ {k} & = omega _ {jk} e_ {k} e_ {j} omega _ {jk} e_ {l} & = e_ {l } omega _ {jk} omega _ {jk} omega _ {lm} & = omega _ {lm} omega _ {jk} end {выровнено}}}$

и

${ displaystyle e_ {j} ^ {N_ {j}} = 1 = omega _ {jk} ^ {N_ {j}} = omega _ {jk} ^ {N_ {k}} ,}$

∀ j,k,л,м = 1,...,п.

Более того, в любом неприводимом матричном представлении, актуальном для физических приложений, требуется, чтобы

${ displaystyle omega _ {jk} = omega _ {kj} ^ {- 1} = e ^ {2 pi i nu _ {kj} / N_ {kj}}}$

∀ j,k = 1,...,п, и ${ displaystyle N_ {kj} = {}}$gcd${ displaystyle (N_ {j}, N_ {k})}$. Поле F обычно принимают комплексные числа C.

Более конкретное определение

В более распространенных случаях GCA,^[6] в п-мерная обобщенная алгебра Клиффорда порядка п имеет свойство ω_кДж = ω, ${ displaystyle N_ {k} = p}$ для всех j,k, и ${ displaystyle nu _ {kj} = 1}$. Следует, что

${ displaystyle { begin {align} e_ {j} e_ {k} & = omega , e_ {k} e_ {j} , omega e_ {l} & = e_ {l} omega , конец {выровнено}}}$

и

${ displaystyle e_ {j} ^ {p} = 1 = omega ^ {p} ,}$

для всех j,k, l = 1, ...,п, и

${ Displaystyle омега = омега ^ {- 1} = е ^ {2 пи я / р}}$

это пкорень 1-го числа.

В литературе существует несколько определений обобщенной алгебры Клиффорда.^[13]

Алгебра Клиффорда

В (ортогональной) алгебре Клиффорда элементы подчиняются правилу антикоммутации с ω = −1, и п = 2.

Матричное представление

Матрицы Clock и Shift могут быть представлены^[14] к п × п матрицы в канонической записи Швингера как

${ displaystyle { begin {align} V & = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 0 & 0 & ddots & 1 & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & 0 & 0 & cdots & 0 end {pmatrix}}, & U & = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & omega & 0 & cdots & 0 0 & 0 & omega ^ {2} & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & omega ^ {(n-1)} end {pmatrix}}, & W & = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & cdots & 1 1 & omega & omega ^ {2} & cdots & omega ^ {n-1} 1 & omega ^ {2} & ( omega ^ {2}) ^ {2} & cdots & omega ^ {2 (n-1)} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & omega ^ {n-1} & omega ^ {2 (n-1)} & cdots & omega ^ {(n-1) ^ {2}} end {pmatrix}} end {выровнено}}}$ .

В частности, V^п = 1, VU = ωUV (в Отношения плетения Вейля ), и W⁻¹VW = U (в дискретное преобразование Фурье ). С е₁ = V , е₂ = VU, и е₃ = U, один имеет три базовых элемента, которые вместе с ω, выполнить указанные выше условия Обобщенной алгебры Клиффорда (GCA).

Эти матрицы, V и U, обычно обозначаемый как "матрицы сдвига и синхронизации ", были представлены Дж. Дж. Сильвестр в 1880-х гг. (Обратите внимание, что матрицы V цикличны матрицы перестановок которые выполняют круговой сдвиг; их не следует путать с матрицы верхнего и нижнего сдвига у которых есть только либо выше, либо ниже диагонали соответственно).

Конкретные примеры

Дело п = п = 2

В этом случае мы имеем ω = −1, и

${ displaystyle { begin {align} V & = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}, & U & = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}, & W & = { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {pmatrix}} end {align}}}$

таким образом

${ displaystyle { begin {align} e_ {1} & = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}, & e_ {2} & = { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}, & e_ {3} & = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} end {выравнивается}}}$ ,

которые составляют Матрицы Паули.

Дело п = п = 4

В этом случае мы имеем ω = я, и

${ displaystyle { begin {align} V & = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}, & U & = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & i & 0 & 0 & 0 0 & i & 0 & 0 & 0 0 & i & 0 & 0 1 & 0 0 & 0 & 0 & -i end {pmatrix}}, & W & = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & i & -1 & -i 1 & -1 & 1 & -1 1 & -i & -1 & i end {pmatrix}} конец {выровнен}}}$

и е₁, е₂, е₃ может быть определено соответственно.

Смотрите также

• Алгебра Клиффорда
• Обобщения матриц Паули
• Матрица ДПФ
• Циркулянтная матрица

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Джаганнатан Р. (2010). «Об обобщенных алгебрах Клиффорда и их физических приложениях». arXiv:1005.4300 [математика ].
• Morinaga, K .; Ноно, Т. (1952). «О линеаризации формы высшей степени и ее представлении». J. Sci. Hiroshima Univ. Сер. А. 16: 13–41. Дои:10.32917 / hmj / 1557367250.
• Моррис, А. (1967). «Об обобщенной алгебре Клиффорда». Кварта. J. Math (Оксфорд. 18 (1): 7–12. Bibcode:1967QJMat..18 .... 7M. Дои:10.1093 / qmath / 18.1.7.
• Моррис, А. (1968). «Об обобщенной алгебре Клиффорда II». Кварта. J. Math (Оксфорд. 19 (1): 289–299. Bibcode:1968QJMat..19..289M. Дои:10.1093 / qmath / 19.1.289.