График прочности - Graph toughness

В этом графе удаление четырех красных вершин приведет к получению четырех связанных компонентов (изображенных четырьмя разными цветами). Однако нет набора k вершины, удаление которых оставляет более k составные части. Следовательно, его выносливость ровно 1.

В теория графов, стойкость является мерой возможность подключения графа. График $грамм$ как говорят $т$ -сложно для данного настоящий номер $т$ если для каждого целое число $k > 1$ , $грамм$ нельзя разделить на $k$ разные связанные компоненты путем удаления менее чем $тк$ вершины. Например, график $1$ -сложно, если количество компонентов, образованных удалением набора вершин, всегда не больше, чем количество удаленных вершин. Стойкость графика максимальная $т$ для чего это $т$ -жесткий; это конечное число для всех конечных графов, кроме полные графики, которые по условию имеют бесконечную прочность.

Графическая стойкость была впервые представлена Вацлав Хваталь (1973 ). С тех пор другие математики провели обширную работу по проблеме прочности; недавний опрос Бауэр, Broersma и Шмейхель (2006) перечисляет 99 теорем и 162 статьи по этой теме.

Примеры

Удаление $k$ вершины из граф путей может разбить оставшийся график на столько, сколько $k + 1$ связанные компоненты. Максимальное отношение компонентов к удаленным вершинам достигается за счет удаления одной вершины (изнутри пути) и разделения ее на две составляющие. Следовательно, пути 1/2-жесткий. Напротив, удаление $k$ вершины из график цикла оставляет самое большее $k$ оставшиеся компоненты связности, а иногда оставляет ровно $k$ компоненты связности, поэтому цикл $1$ -жесткий.

Связь с связностью вершин

Если график $т$ -сложно, то одно последствие (получается путем установки $k = 2$ ) заключается в том, что любой набор $2 т - 1$ узлы могут быть удалены без разделения графа на два. То есть каждый $т$ -сложный график тоже $2 т$ -вершинно-связанный.

Связь с гамильтонностью

Нерешенная проблема в математике:

Есть номер

{displaystyle t}

так что каждый

{displaystyle t}

-сложный граф гамильтонов?

(больше нерешенных задач по математике)

Хваталь (1973) заметил, что каждый цикл, и поэтому каждый Гамильтонов граф, является $1$ -жесткий; то есть быть $1$ - тяжело необходимое условие чтобы граф был гамильтоновым. Он предположил, что связь между жесткостью и гамильтонностью идет в обоих направлениях: существует порог $т$ так что каждый $т$ -жесткий граф гамильтонов. Первоначальная гипотеза Хватала о том, что $т = 2$ доказал бы Теорема Флейшнера но был опровергнут Бауэр, Броерсма и Вельдман (2000). Существование большего порога прочности для гамильтоничности остается открытым, и иногда его называют Гипотеза прочности Хватала.

Вычислительная сложность

Проверка того, является ли график $1$ - тяжело со-НП -полный. Это проблема решения чей ответ «да» для графа, который не является 1-жестким, и «нет» для графа, который является 1-жестким, является НП-полный. То же самое верно для любого фиксированного положительного Рациональное число $q$ : проверка того, является ли график $q$ -tough является со-NP-полным (Бауэр, Хакими и Шмейхель 1990 г. ).

Смотрите также

Сила графика, аналогичная концепция для удаления краев
Формула Тутте – Берже, связанная характеристика размера максимального соответствия в графике