Теорема Флейшнерса - Википедия - Fleischners theorem

Граф, связанный с двумя вершинами, его квадрат и гамильтонов цикл в квадрате

В теория графов, раздел математики, Теорема Флейшнера дает достаточное условие для того, чтобы граф содержал Гамильтонов цикл. В нем говорится, что если грамм это 2-вершинно-связный граф, то площадь грамм гамильтоново. он назван в честь Герберт Флейшнер, который опубликовал свое доказательство в 1974 г.

Определения и заявление

An неориентированный граф грамм является гамильтоновым, если он содержит цикл который касается каждой своей вершины ровно один раз. Он является 2-вершинно-связанным, если у него нет вершины сочленения, вершины, удаление которой оставило бы оставшийся граф несвязным. Не всякий двухвершинно-связный граф является гамильтоновым; контрпримеры включают Граф Петерсена и полный двудольный граф K2,3.

Площадь грамм это график грамм2 который имеет ту же вершину, что и грамм, и в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они имеют расстояние не более двух в грамм. Теорема Флейшнера утверждает, что квадрат конечного 2-вершинно-связного графа по крайней мере с тремя вершинами всегда должен быть гамильтоновым. Эквивалентно, вершины каждого 2-вершинно-связного графа грамм может быть организован в циклический порядок такие, что соседние вершины в этом порядке находятся на расстоянии не более двух друг от друга в грамм.

Расширения

В теореме Флейшнера можно ограничить гамильтонов цикл в грамм2 так что для заданных вершин v и ш из грамм он включает два края грамм инцидент с v и один край грамм инцидент с ш. Более того, если v и ш соседствуют в грамм, то это три разных ребра грамм.[1]

Помимо гамильтонова цикла, квадрат 2-вершинно-связного графа грамм также должен быть гамильтоновым связным (что означает, что он имеет Гамильтонов путь начиная и заканчивая любыми двумя обозначенными вершинами) и 1-гамильтонианом (что означает, что если какая-либо вершина удалена, оставшийся граф все еще имеет гамильтонов цикл).[2] Он также должен быть вершиной панциклический, что означает, что для каждой вершины v и каждое целое число k с 3 ≤k ≤ |V(грамм) | существует цикл длиныk содержащийv.[3]

Если график грамм не является 2-вершинно-связным, то его квадрат может иметь или не иметь гамильтонов цикл, и определение того, есть ли он у него, является НП-полный.[4]

Бесконечный граф не может иметь гамильтонова цикла, потому что каждый цикл конечен, но Карстен Томассен доказал, что если грамм - бесконечный локально конечный 2-вершинно-связный граф с одним конец тогда грамм2 обязательно имеет вдвойне бесконечный гамильтонов путь.[5] В более общем смысле, если грамм локально конечна, 2-вершинно-связна и имеет любое количество концов, то грамм2 имеет гамильтонов круг. В компактное топологическое пространство формируется путем просмотра графика как симплициальный комплекс и добавляя дополнительную бесконечно удаленную точку к каждому из его концов, гамильтонова окружность определяется как подпространство, которое гомеоморфный в евклидову окружность и покрывает каждую вершину.[6]

Алгоритмы

Гамильтонов цикл в квадрате п-вершинный 2-связный граф можно найти за линейное время,[7] улучшение по сравнению с первым алгоритмическим решением Лау[8] времени работы На2)Теорема Флейшнера может быть использована для получения 2-приближение к проблема коммивояжера в метрические пространства.[9]

История

Доказательство теоремы Флейшнера было объявлено Герберт Флейшнер в 1971 г. и опубликованные им в 1974 г., решая гипотезу 1966 г. Криспин Нэш-Уильямс также сделано независимо Л. В. Бейнеке и Майкл Д. Пламмер.[10] В своем обзоре работы Флейшнера Нэш-Вильямс писал, что в ней была решена «хорошо известная проблема, которая в течение нескольких лет побеждала изобретательность других теоретиков графов».[11]

Первоначальное доказательство Флейшнера было сложным. Вацлав Хваталь, в работе, в которой он изобрел графическая стойкость, заметил, что квадрат k-связный граф обязательно k-жесткий; он предполагаемый что 2-жесткие графы являются гамильтоновыми, из чего следовало бы другое доказательство теоремы Флейшнера.[12] Позднее были обнаружены контрпримеры к этой гипотезе.[13] но возможность того, что конечная оценка устойчивости может подразумевать гамильтоничность, остается важной открытой проблемой в теории графов. Более простое доказательство как теоремы Флейшнера, так и ее расширений Chartrand et al. (1974), был предоставлен Íha (1991),[14] и другое упрощенное доказательство теоремы было дано Георгакопулос (2009a).[15]

Рекомендации

Примечания

  1. ^ Флейшнер (1976); Мюттель и Раутенбах (2012).
  2. ^ Chartrand et al. (1974); Чартран, Лесняк и Чжан (2010)
  3. ^ Хоббс (1976), отвечая на догадку Бонди (1971).
  4. ^ Подземный (1978); Бонди (1995).
  5. ^ Томассен (1978).
  6. ^ Георгакопулос (2009b); Дистель (2012).
  7. ^ Альструп, Георгакопулос, Ротенберг, Томассен (2018)
  8. ^ Лау (1980); Паркер и Рардин (1984).
  9. ^ Паркер и Рардин (1984); Хохбаум и Шмойс (1986).
  10. ^ Флейшнер (1974). По поводу более ранних предположений см. Fleischner and Чартран, Лесняк и Чжан (2010).
  11. ^ МИСТЕР0332573.
  12. ^ Хваталь (1973); Бонди (1995).
  13. ^ Бауэр, Броерсма и Вельдман (2000).
  14. ^ Бонди (1995); Чартран, Лесняк и Чжан (2010).
  15. ^ Чартран, Лесняк и Чжан (2010); Дистель (2012).

Основные источники

Вторичные источники