Тензор гирации - Gyration tensor

В физика, то тензор гирации это тензор это описывает второй моменты позиции коллекции частицы

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {m} ^ {(i)} r_ { п} ^ {(я)}}$

куда ${displaystyle r_ {m} ^ {(i)}}$ это ${displaystyle mathrm {m ^ {th}}}$ Декартова координата позиции вектор ${displaystyle mathbf {r} ^ {(i)}}$ из ${displaystyle mathrm {я ^ {th}}}$ частица. В источник из система координат был выбран так, что

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} mathbf {r} ^ {(i)} = 0}$

т.е. в системе центр массы ${displaystyle r_ {CM}}$. Где

${displaystyle r_ {CM} = {frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} mathbf {r} ^ {(i)}}$

Другое определение, которое математически идентично, но дает альтернативный метод расчета:

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {1} {2N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} (r_ {m} ^ {(i)} - r_ {m} ^ {(j)}) (r_ {n} ^ {(i)} - r_ {n} ^ {(j)})}$

Следовательно, компонента x-y тензора гирации для частиц в декартовых координатах будет:

${displaystyle S_ {xy} = {frac {1} {2N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} (x_ {i} -x_ { j}) (y_ {i} -y_ {j})}$

В континуальном пределе

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {dfrac {int dmathbf {r} ho (mathbf {r}) r_ {m} r_ {n}} {int dmathbf {r} ho ( mathbf {r})}}}$

куда ${displaystyle ho (mathbf {r})}$ представляет собой числовую плотность частиц в позиции ${displaystyle mathbf {r}}$.

Хотя они имеют разные единицы, тензор гирации связан с тензор момента инерции. Ключевое отличие состоит в том, что позиции частиц взвешиваются по масса в тензоре инерции, а тензор гирации зависит только от положения частиц; масса не играет роли в определении тензора гирации.

Диагонализация

Поскольку тензор гирации является симметричным 3x3 матрица, а Декартова система координат можно найти в котором диагональ

${displaystyle mathbf {S} = {egin {bmatrix} lambda _ {x} ^ {2} & 0 & 0 0 & lambda _ {y} ^ {2} & 0 0 & 0 & lambda _ {z} ^ {2} end {bmatrix}}}$

где оси выбраны таким образом, что диагональные элементы упорядочены ${displaystyle lambda _ {x} ^ {2} leq lambda _ {y} ^ {2} leq lambda _ {z} ^ {2}}$. Эти диагональные элементы называются основные моменты тензора гирации.

Дескрипторы формы

Основные моменты можно объединить, чтобы получить несколько параметров, описывающих распределение частиц. Квадрат радиус вращения это сумма основных моментов

${displaystyle R_ {g} ^ {2} = лямбда _ {x} ^ {2} + лямбда _ {y} ^ {2} + лямбда _ {z} ^ {2}}$

В асферичность ${displaystyle b}$ определяется

${displaystyle b {stackrel {mathrm {def}} {=}} lambda _ {z} ^ {2} - {frac {1} {2}} left (lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y } ^ {2} ight) = {frac {3} {2}} lambda _ {z} ^ {2} - {frac {R_ {g} ^ {2}} {2}}}$

которая всегда неотрицательна и равна нулю только тогда, когда три главных момента равны, λ_Икс = λ_у = λ_z. Это нулевое условие выполняется, когда распределение частиц сферически симметрично (отсюда и название асферичность), но также и в тех случаях, когда распределение частиц симметрично относительно трех координатных осей, например, когда частицы распределены равномерно на куб, тетраэдр или другой Платоново твердое тело.

Точно так же ацилиндричность ${displaystyle c}$ определяется

${displaystyle c {stackrel {mathrm {def}} {=}} лямбда _ {y} ^ {2} -lambda _ {x} ^ {2}}$

которая всегда неотрицательна и равна нулю только тогда, когда два главных момента равны, λ_Икс = λ_уЭто нулевое условие выполняется, когда распределение частиц цилиндрически симметрично (отсюда и название ацилиндричность), но также и в тех случаях, когда распределение частиц симметрично относительно двух координатных осей, например, когда частицы распределены равномерно на обычная призма.

Наконец, относительная анизотропия формы ${displaystyle kappa ^ {2}}$ определено

${displaystyle kappa ^ {2} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {b ^ {2} + (3/4) c ^ {2}} {R_ {g} ^ {4}}} = {frac {3} {2}} {frac {lambda _ {x} ^ {4} + lambda _ {y} ^ {4} + lambda _ {z} ^ {4}} {(lambda _ {x} ^ {2} + лямбда _ {y} ^ {2} + лямбда _ {z} ^ {2}) ^ {2}}} - {гидроразрыв {1} {2}}}$

которое ограничено от нуля до единицы. ${displaystyle kappa ^ {2}}$ = 0 возникает только в том случае, если все точки сферически симметричны, и ${displaystyle kappa ^ {2}}$ = 1 возникает только в том случае, если все точки лежат на одной линии.

Рекомендации

• Mattice, WL; Сутер, UW (1994). Конформационная теория больших молекул. Wiley Interscience. ISBN  0-471-84338-5.
• Теодору, Д. Н.; Сутер, UW (1985). «Форма невозмущенных линейных полимеров: полипропилен». Макромолекулы. 18 (6): 1206–1214. Bibcode:1985MaMol..18.1206T. Дои:10.1021 / ma00148a028.