Карандаш Гессе - Википедия - Hesse pencil

В математике сизигетический карандаш или же Карандаш Гессен, названный в честь Отто Гессе, это карандаш (одномерное семейство) кубическая плоскость эллиптические кривые в комплексная проективная плоскость, определяемый уравнением

{ displaystyle lambda (x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3}) + mu xyz = 0.}

Каждая кривая в семействе определяется парой значений параметров ( ${ displaystyle lambda, mu}$ ) (не оба нуля) и состоит из точек на плоскости, однородные координаты ${ Displaystyle (х, у, г)}$ удовлетворяют уравнению для этих параметров. Умножение обоих ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle mu}$ тем же скаляр не изменяет кривую, поэтому существует только одна степень свободы при выборе кривой из карандаша, но двухпараметрическая форма, приведенная выше, позволяет либо ${ displaystyle lambda}$ или же ${ displaystyle mu}$ (но не оба сразу), чтобы они были установлены на ноль.

Каждая кривая карандаша проходит через девять точек комплексная проективная плоскость чей однородные координаты - некоторая перестановка 0, –1 и a кубический корень из единицы. Есть три корня из единицы и шесть перестановок на корень, что дает 18 вариантов для однородных координат каждой точки, но они эквивалентны в парах, дающих только девять точек. Семейство кубиков через эти девять точек образует карандаш Гессе. В более общем смысле, можно заменить комплексные числа любым полем, содержащим кубический корень из единицы, и определить пучок Гессе над этим полем как семейство кубиков, проходящих через эти девять точек.

Девять общих точек карандаша Гессе - это точки перегиба каждого кубика карандаша. Любая линия, которая проходит как минимум через две из этих девяти точек, проходит ровно через три из них; девять точек и двенадцать линий через тройки точек образуют Конфигурация Гессен.

Каждая эллиптическая кривая бирационально эквивалентный кривой карандаша Гессе; это Гессенская форма эллиптической кривой. Однако параметры ( ${ displaystyle lambda, mu}$ ) гессенской формы может принадлежать поле расширения поля определения исходной кривой.

Карандаш Гессе - Википедия - Hesse pencil

Рекомендации