Коллектор Хопфа - Hopf manifold

В сложная геометрия, а Коллектор Хопфа (Хопф 1948 ) получается как частное от комплекса векторное пространство (с удаленным нулем) ${displaystyle ({mathbb {C}} ^ {n} ackslash 0)}$по свободное действие из группа ${displaystyle Gamma cong {mathbb {Z}}}$ изцелые числа, с генератором ${displaystyle gamma}$ из ${displaystyle Gamma}$ действуя голоморфным схватки. Здесь голоморфное сжатиеэто карта ${displaystyle gamma:; {mathbb {C}} ^ {n} mapsto {mathbb {C}} ^ {n}}$такая, что достаточно большая итерация ${displaystyle; gamma ^ {N}}$отображает любые данные компактное подмножество из ${displaystyle {mathbb {C}} ^ {n}}$на сколь угодно малый район из 0.

Двумерные многообразия Хопфа называются Поверхности Хопфа.

Примеры

В типичной ситуации ${displaystyle Gamma}$ генерируется линейным сжатием, обычно диагональная матрица ${displaystyle qcdot Id}$, с ${displaystyle qin {mathbb {C}}}$комплексное число, ${displaystyle 0 <| q | <1}$. Такое многообразие называется классическое многообразие Хопфа.

Характеристики

Многообразие Хопфа ${displaystyle H: = ({mathbb {C}} ^ {n} ackslash 0) / {mathbb {Z}}}$ является диффеоморфный к ${displaystyle S ^ {2n-1} imes S ^ {1}}$.За ${displaystyle ngeq 2}$, это неKähler. На самом деле он не эвенсимплектический, потому что вторая группа когомологий равна нулю.

Гиперкомплексная структура

Четномерные многообразия Хопфа допускаютгиперкомплексная структура.Поверхность Хопфа - единственная компактная гиперкомплексное многообразие кватернионной размерности 1, которая не Hyperkähler.

Рекомендации

• Хопф, Хайнц (1948), "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten", Исследования и эссе, представленные Р. Куранту в день его 60-летия, 8 января 1948 г., Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, стр. 167–185, МИСТЕР  0023054
• Орнеа, Ливиу (2001) [1994], «Многообразие Хопфа», Энциклопедия математики, EMS Press