Гиперкомплексное многообразие - Hypercomplex manifold

В дифференциальная геометрия, а гиперкомплексное многообразие это многообразие с касательный пучок оснащен действие к алгебра кватернионов таким образом, чтобы кватернионы ${displaystyle I, J, K}$определить интегрируемый почти сложные конструкции.

Если вместо этого почти комплексные структуры не предполагаются интегрируемыми, многообразие называется кватернионным или почти гиперкомплексным.^[1]

Примеры

Каждый гиперкэлерово многообразие также гиперкомплексный. Обратное неверно. В Поверхность хопфа

${displaystyle {igg (} {mathbb {H}} ackslash 0 {igg)} / {mathbb {Z}}}$

(с ${displaystyle {mathbb {Z}}}$ действует как умножение на кватернион ${displaystyle q}$, ${displaystyle | q |> 1}$) является гиперкомплексным, но не Kähler, следовательно, не Hyperkähler Чтобы увидеть, что поверхность Хопфа не кэлерова, заметьте, что она диффеоморфна произведению${displaystyle S ^ {1} imes S ^ {3},}$ следовательно, его нечетная группа когомологий нечетномерна. К Разложение Ходжа, нечетные когомологии компакта Кэлерово многообразие всегда четные. На самом деле Хидекиё Вакакува доказал^[2] что на компактном гиперкэлерово многообразие ${displaystyle b_ {2p + 1} Equiv 0 mod 4}$. Миша Вербицкий показал, что любое компактное гиперкомплексное многообразие, допускающее кэлерову структуру, также является гиперкэлеровым.^[3]

В 1988 г. физиками Филиппом Шпинделем, Александром Севриным, Вальтером Троостом и Антуаном Ван Пройеном были построены левоинвариантные гиперкомплексные структуры на некоторых компактных группах Ли. В 1992 г. Доминик Джойс переоткрыл эту конструкцию и дал полную классификацию левоинвариантных гиперкомплексных структур на компактных группах Ли. Вот полный список.

${displaystyle T ^ {4}, SU (2l + 1), T ^ {1} imes SU (2l), T ^ {l} imes SO (2l + 1),}$

${displaystyle T ^ {2l} imes SO (4l), T ^ {l} imes Sp (l), T ^ {2} imes E_ {6},}$

${displaystyle T ^ {7} imes E ^ {7}, T ^ {8} imes E ^ {8}, T ^ {4} imes F_ {4}, T ^ {2} imes G_ {2}}$

куда ${displaystyle T ^ {i}}$ обозначает ${displaystyle i}$-мерный компактный тор.

Примечательно, что любая компактная группа Ли становится сверхкомплексной после умножения на достаточно большой тор.

Основные свойства

Гиперкомплексные многообразия как таковые были изучены Чарльзом Бойером в 1988 году. Он также доказал, что в вещественной размерности 4 единственными компактными гиперкомплексными многообразиями являются комплексный тор ${displaystyle T ^ {4}}$, то Поверхность хопфа и K3 поверхность.

Намного раньше (в 1955 г.) Морио Обата изучал аффинная связь связана с почти гиперкомплексные структуры (по прежней терминологии Чарльз Эресманн^[4] из почти кватернионные структуры). Его конструкция приводит к тому, что Эдмонд Бонан называется Связь Обата^[5][6] который без кручения, тогда и только тогда, когда «двое» из почти сложных структур ${displaystyle I, J, K}$ интегрируемы, и в этом случае многообразие гиперкомплексно.

Твисторные пространства

Имеется двумерная сфера кватернионов${displaystyle Lin {mathbb {H}}}$ удовлетворение ${displaystyle L ^ {2} = - 1}$Каждый из этих кватернионов дает сложную структуру на гиперкомплексном многообразии. M. Это определяет почти комплексную структуру на многообразии${displaystyle M imes S ^ {2}}$, который расслоен над${displaystyle {mathbb {C}} P ^ {1} = S ^ {2}}$ с волокнами, идентифицированными с ${displaystyle (M, L)}$. Эта сложная структура интегрируема, как следует из теоремы Обаты (это было впервые явно доказано Дмитрий Каледин^[7]). Это комплексное многообразие называется твистор пространство из ${displaystyle M}$.Если M является ${displaystyle {mathbb {H}}}$, то его твисторное пространство изоморфно ${displaystyle {mathbb {C}} P ^ {3} ackslash {mathbb {C}} P ^ {1}}$.

Смотрите также

• Кватернионное многообразие

Рекомендации