Гибридная разностная схема - Википедия - Hybrid difference scheme

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья является сирота, как никакие другие статьи ссылка на это. Пожалуйста ввести ссылки на эту страницу из Статьи по Теме; попробуйте Инструмент поиска ссылок для предложений. (Ноябрь 2012 г.) Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья ведущий раздел может быть слишком коротким и неадекватно подвести итог ключевые моменты его содержания. Пожалуйста, подумайте о расширении интереса до предоставить доступный обзор обо всех важных аспектах статьи. (Ноябрь 2012 г.) Эта статья нужно больше ссылки на другие статьи помочь интегрировать в энциклопедию. Пожалуйста помоги улучшить эту статью добавляя ссылки которые имеют отношение к контексту в существующем тексте. (Ноябрь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В гибридная разностная схема^[1][2] - метод, используемый в численном решении для конвекция – диффузия проблемы. Впервые он был представлен Spalding (1970). Это комбинация центральная разностная схема и схема разности встречных волн поскольку он использует благоприятные свойства обеих этих схем.^[3][4]

Вступление^[5]

Гибридная разностная схема - это метод, используемый при численном решении задач конвекции-диффузии. Эти проблемы играют важную роль в вычислительная гидродинамика. Его можно описать общим частным уравнением следующим образом:^[6]

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} ( rho phi) + nabla ( rho mathbf {u} phi) , = nabla ( Gamma cdot operatorname {grad } phi) + S _ { phi}}$${ Displaystyle ;}$ (1)

Где, ${ displaystyle rho}$ является плотность, ${ displaystyle mathbf {u}}$ - вектор скорости, ${ displaystyle Gamma}$ это коэффициент диффузии и ${ displaystyle S _ { phi}}$ это исходный термин. В этом свойстве уравнения ${ displaystyle phi}$ возможно температура, внутренняя энергия или компонент вектора скорости ${ displaystyle mathbf {u}}$ в направлениях x, y и z.

Для одномерного анализа задачи конвекции-диффузии в установившемся режиме и без источника уравнение сводится к

${ Displaystyle { frac { partial} { partial x}} ( rho u phi) , = { frac { partial} { partial x}} left ( Gamma { frac { partial phi} { partial x}} right), quad 0$ ${ Displaystyle ;}$ (2)

С граничными условиями, ${ Displaystyle фи (0) , = фи _ {0}}$ и ${ Displaystyle фи (L) , = фи _ {L}}$, где L - длина, ${ displaystyle phi _ {0}}$ и ${ displaystyle phi _ {L}}$ - данные значения.

Генерация сетки

Интегрирующее уравнение 2 над контрольный объем содержащий узел N, и используя Теорема Гаусса т.е.

${ displaystyle int _ {CV} nabla ( rho mathbf {u} phi) dV , = int _ {A} mathbf {n} cdot ( rho mathbf {u} phi) dA}$ ${ Displaystyle ;}$ (3)

Дает следующий результат,

${ displaystyle left ( rho uA phi right) _ {r} - left ( rho uA phi right) _ {l}}$ = ${ displaystyle left ( Gamma A { frac { partial phi} { partial x}} right) _ {r} - left ( Gamma A { frac { partial phi} { partial x}} right) _ {l}}$ ${ Displaystyle ;}$(4)

Где, А - поперечный площадь контрольного объема. уравнение также должно удовлетворять уравнение неразрывности, т.е.

${ displaystyle left ( rho uA right) _ {r} - left ( rho uA right) _ {l}}$ = 0 ${ Displaystyle ;}$ (5)

Теперь давайте определим переменные F и D для представления конвекционный поток массы и диффузионная проводимость на гранях клеток,

${ Displaystyle F , = rho uA}$${ Displaystyle ;}$ и ${ Displaystyle ;}$${ Displaystyle D , = { гидроразрыва { Gamma A} { delta x}}}$ ${ Displaystyle ;}$ (6)

Следовательно, уравнения (4) и (5) преобразуются в следующие уравнения:

${ displaystyle F_ {r} phi _ {r} -F_ {l} phi _ {l} , = D_ {r} ( phi _ {R} - phi _ {N}) - D_ {l } ( phi _ {N} - phi _ {L})}$ ${ Displaystyle ;}$ (7)

${ Displaystyle F_ {r} -F_ {l} , = 0}$ ${ Displaystyle ;}$ (8)

Где строчные буквы обозначают значения на гранях, а прописные буквы обозначают значения в узлах. Мы также определяем безразмерный параметр Число Пекле (Pe) как мера относительной силы конвекции и диффузии,

${ displaystyle Pe , = { frac {F} {D}} , = { frac { rho u} { Gamma / delta x}}}$ ${ Displaystyle ;}$ (9)

При низком числе Пекле (| Pe | <2) в потоке преобладает диффузия. При большом числе Пекле в потоке преобладает конвекция.

Схема разницы по центру и против ветра^[3][7]

Рис. 1. Сетка, используемая для дискретизации в схеме центральных разностей.

В приведенных выше уравнениях (7) и (8), мы видим, что требуемые значения находятся на гранях, а не на узлах. Следовательно, для этого требуются приближения.

В схеме центральной разности мы заменяем значение на лицевой стороне средним значением в соседних узлах,

${ displaystyle phi _ {r} , = { frac { phi _ {R} + phi _ {N}} {2}}}$ ${ Displaystyle ;}$ и ${ Displaystyle ;}$ ${ displaystyle phi _ {l} , = { frac { phi _ {N} + phi _ {L}} {2}}}$ ${ Displaystyle ;}$ (10)

Рис. 2: Сетка, используемая для дискретизации в схеме разницы против ветра для положительного числа Пекле (Pe> 0)

Рис. 3: Сетка, используемая для дискретизации в схеме разницы против ветра для отрицательного числа Пекле (Pe <0)

Помещая эти значения в уравнение (7) и переставляя, получаем следующий результат:

${ displaystyle a_ {N} phi _ {N} , = a_ {R} phi _ {R} + a_ {L} phi _ {L}}$ ${ Displaystyle ;}$ (11)

куда,

${ displaystyle a_ {L}}$	${ displaystyle a_ {R}}$	${ displaystyle a_ {N}}$
${ displaystyle D_ {l} + { frac {F_ {l}} {2}}}$	${ displaystyle D_ {r} - { frac {F_ {r}} {2}}}$	${ displaystyle a_ {R} + a_ {L} + (F_ {r} -F_ {l})}$

В схеме Upwind мы заменяем значение на лицевой стороне значением на соседнем восходящем узле. Например, для потока справа (Pe> 0), как показано на диаграмме, мы заменим значения следующим образом;

${ Displaystyle phi _ {l} , = phi _ {L}}$${ Displaystyle ;}$ и ${ Displaystyle ;}$${ Displaystyle phi _ {r} , = phi _ {N}}$ ${ Displaystyle ;}$ (12)

А для Pe <0 ставим значения, как показано на рисунке 3,

${ Displaystyle phi _ {r} , = phi _ {R}}$${ Displaystyle ;}$ и ${ Displaystyle ;}$${ Displaystyle phi _ {l} , = phi _ {N}}$ ${ Displaystyle ;}$ (13)

Помещая эти значения в уравнение (7) и переставляя, мы получаем то же уравнение, что и уравнение (11), со следующими значениями коэффициентов:

${ displaystyle a_ {L}}$	${ displaystyle a_ {R}}$	${ displaystyle a_ {N}}$
${ Displaystyle D_ {l} + max (F_ {l}, 0)}$	${ Displaystyle D_ {r} + max (-F_ {r}, 0)}$	${ displaystyle a_ {R} + a_ {L} + (F_ {r} -F_ {l})}$

Гибридная разностная схема^[3][7]

Рис. 4: Диаграмма, показывающая изменение любого свойства (ϕ) по длине (L) при разных числах Пекле (Pe)

Гибридная разностная схема Сполдинга (1970) представляет собой комбинацию центральной разностной схемы и разностной схемы против ветра. В нем используется центральная разностная схема второго порядка точности для малых чисел Пекле (| Pe | <2). Для больших чисел Пекле (| Pe |> 2) используется разностная схема Upwind, которая первого порядка точности, но учитывает конвекцию жидкости.

Как видно на рисунке 4, для Pe = 0 это линейное распределение, а для высоких Pe принимает значение выше по потоку в зависимости от направления потока. Например, значение на левой грани при различных обстоятельствах будет таким:

${ displaystyle phi _ {l} , = left [ left (1 + { frac {2} {Pe_ {l}}} right) { frac { phi _ {L}} {2} } + left (1 - { frac {2} {Pe_ {l}}} right) { frac { phi _ {N}} {2}} right] ,}$ ${ Displaystyle ;}$ за ${ Displaystyle ;}$ ${ displaystyle -2$${ Displaystyle ;}$ (14)

${ Displaystyle phi _ {l} , = phi _ {L}}$ ${ Displaystyle ;}$ за ${ Displaystyle ;}$ ${ displaystyle Pe_ {l} { text {≥}} 2}$ ${ Displaystyle ;}$ (15)

${ Displaystyle phi _ {l} , = phi _ {N}}$ ${ Displaystyle ;}$ за ${ Displaystyle ;}$ ${ displaystyle Pe_ {l} { text {≤}} - 2}$ ${ Displaystyle ;}$ (16)

Подставляя эти значения в уравнение (7) получаем такое же уравнение (11) со значениями коэффициентов:

${ displaystyle a_ {L}}$	${ displaystyle a_ {R}}$	${ displaystyle a_ {N}}$
${ displaystyle max left [F_ {l}, left (D_ {l} + { frac {F_ {l}} {2}} right), 0 right]}$	${ displaystyle max left [-F_ {r}, left (D_ {r} - { frac {F_ {r}} {2}} right), 0 right]}$	${ displaystyle a_ {r} + a_ {l} + (F_ {r} -F_ {l})}$

Преимущества и недостатки

Он использует благоприятные свойства схемы центрального перепада и против ветра. Он переключается на разностную схему против ветра, когда центральная разностная схема дает неточные результаты для больших чисел Пекле. Он дает физически реалистичное решение и доказал свою полезность при прогнозировании практических потоков. Единственный недостаток, связанный с гибридной разностной схемой, заключается в том, что точность с точки зрения Серия Тейлор ошибка усечения это только первый заказ.

Смотрите также

• Схема дифференцирования против ветра для конвекции

Рекомендации

внешняя ссылка

• http://proceedings.fyper.com/eccomascfd2006/documents/595.pdf
• http://www.internonlinearscience.org/upload/papers/20110228093510102.pdf
• http://www.internonlinearscience.org/upload/papers/20110227034844410.pdf