Уравнение индукции - Induction equation

В уравнение индукции, один из магнитогидродинамический уравнения, является уравнение в частных производных что связывает магнитное поле и скорость электропроводящей жидкости, такой как плазма. Это может быть получено из Уравнения Максвелла и Закон Ома, и играет важную роль в физика плазмы и астрофизика, особенно в теория динамо.

Математическое утверждение

Уравнения Максвелла, описывающие законы Фарадея и Ампера, читаются

${ displaystyle { vec { nabla}} times { vec {E}} = - { partial { vec {B}} over partial t},}$

и

${ displaystyle { vec { nabla}} times { vec {B}} = mu _ {0} { vec {J}},}$

где ток смещения им пренебрегли, поскольку они обычно имеют небольшие эффекты в астрофизических приложениях, а также в большинстве лабораторных плазм. Здесь, ${ displaystyle { vec {E}}}$, и ${ displaystyle { vec {B}}}$ являются, соответственно, электрический и магнитные поля, и ${ displaystyle { vec {J}}}$ это электрический ток. В электрическое поле может быть связано с плотность тока с использованием Закон Ома, ${ displaystyle { vec {E}} + { vec {v}} times { vec {B}} = { vec {J}} / sigma}$ куда ${ displaystyle { vec {v}}}$ это поле скорости, и ${ displaystyle sigma}$ это электропроводность жидкости. Объединив эти три уравнения, исключив ${ displaystyle { vec {E}}}$ и ${ displaystyle { vec {J}}}$, дает уравнение индукции для электрически резистивного жидкость:

${ displaystyle { partial { vec {B}} over partial t} = eta nabla ^ {2} { vec {B}} + { vec { nabla}} times ({ vec {v}} times { vec {B}}).}$

Здесь, ${ displaystyle eta = 1 / mu _ {0} sigma}$ - коэффициент магнитной диффузии (в литературе удельное электрическое сопротивление, определяется как ${ displaystyle 1 / sigma}$, часто отождествляют с коэффициентом магнитной диффузии).

Если жидкость движется с обычной скоростью ${ displaystyle V}$ и типичный масштаб длины ${ displaystyle L}$, тогда

${ displaystyle eta nabla ^ {2} { vec {B}} sim { eta B over L ^ {2}}, { vec { nabla}} times ({ vec {v} } times { vec {B}}) sim {VB over L}.}$

Отношение этих величин, являющееся безразмерным параметром, называется величиной магнитное число Рейнольдса:

${ displaystyle R_ {m} = {LV over eta}}$.

Идеально проводящий предел

Для жидкости с бесконечным электропроводность, ${ displaystyle eta rightarrow 0}$, первый член в уравнении индукции обращается в нуль. Это эквивалентно очень большому магнитное число Рейнольдса. Например, это может быть порядок ${ displaystyle 10 ^ {9}}$ в типичной звезде. В этом случае жидкость можно назвать идеальной или идеальной. Итак, уравнение индукции для идеальной проводящей жидкости, такой как большинство астрофизической плазмы, имеет вид

${ displaystyle { partial { vec {B}} over partial t} = { vec { nabla}} times ({ vec {v}} times { vec {B}}).}$

Это считается хорошим приближением в теория динамо, используется для объяснения эволюции магнитного поля в астрофизических средах, таких как звезды, галактики и аккреционные диски.

Диффузионный предел

Для очень маленьких магнитные числа Рейнольдса диффузионный член преодолевает конвективный член. Например, в электрически резистивной жидкости с большими значениями ${ displaystyle eta}$магнитное поле очень быстро рассеивается, и Теорема Альфвена не может применяться. Это означает, что магнитная энергия рассеивается в тепло и другие виды энергии. Тогда уравнение индукции выглядит так:

${ displaystyle { partial { vec {B}} over partial t} = eta nabla ^ {2} { vec {B}}.}$

Обычно определяют шкалу времени рассеяния ${ displaystyle tau _ {d} = L ^ {2} / eta}$ который является шкалой времени для рассеяния магнитной энергии в масштабе длины ${ displaystyle L}$.

Смотрите также

• Теорема Альфвена
• Магнитогидродинамика
• Уравнения Максвелла