Обратное преобразование Лапласа - Inverse Laplace transform

В математика, то обратное преобразование Лапласа функции F(s) - кусочно-непрерывная и экспоненциально ограниченная вещественная функция ж(т), который имеет свойство:

{ Displaystyle { mathcal {L}} {е } (s) = { mathcal {L}} {f (t) } (s) = F (s),}

куда ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ обозначает Преобразование Лапласа.

Можно доказать, что если функция F(s) имеет обратное преобразование Лапласа ж(т), тогда ж(т) определяется однозначно (учитывая функции, которые отличаются друг от друга только на точечном множестве, имеющем Мера Лебега ноль как то же). Этот результат был впервые доказан Матиас Лерх в 1903 г. и известна как теорема Лерха.^[1]^[2]

В Преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа вместе обладают рядом свойств, которые делают их полезными для анализа линейные динамические системы.

Обратная формула Меллина

Интегральная формула обратного Преобразование Лапласа, называется Обратная формула Меллина, то Бромвич интеграл, или Фурье –Меллин интеграл, дается линейный интеграл:

{ Displaystyle F (T) = { mathcal {L}} ^ {- 1} {F (s) } (t) = { frac {1} {2 pi i}} lim _ {T to infty} int _ { gamma -iT} ^ { gamma + iT} e ^ {st} F (s) , ds}

где интегрирование ведется по вертикали Re (s) = γ в комплексная плоскость такой, что γ больше, чем реальная часть всех особенности из F(s) и F(s) ограничен на прямой, например, если контурный путь находится в область конвергенции. Если все особенности лежат в левой полуплоскости, или F(s) является вся функция , тогда γ можно установить равным нулю, и приведенная выше формула обратного интеграла становится идентичной формуле обратное преобразование Фурье.

На практике вычисление комплексного интеграла можно выполнить с помощью Теорема Коши о вычетах.

Формула обращения поста

Формула обращения поста за Преобразования Лапласа, названный в честь Эмиль Пост,^[3] это простая на вид, но обычно непрактичная формула для оценки обратное преобразование Лапласа.

Формула формула выглядит следующим образом: Пусть ж(т) - непрерывная функция экспоненциального порядка на отрезке [0, ∞), т. е.

{ displaystyle sup _ {t> 0} { frac {f (t)} {e ^ {bt}}} < infty}

для какого-то реального числа б. Тогда для всех s > б, преобразование Лапласа для ж(т) существует и бесконечно дифференцируема относительно s. Кроме того, если F(s) - преобразование Лапласа ж(т), то обратное преобразование Лапласа F(s) дан кем-то

{ Displaystyle F (T) = { mathcal {L}} ^ {- 1} {F (s) } (t) = lim _ {k to infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k!}} left ({ frac {k} {t}} right) ^ {k + 1} F ^ {(k)} left ({ frac {k} {t }}верно)}

за т > 0, где F^(k) это k-я производная от F относительно s.

Как видно из формулы, необходимость оценивать производные произвольно высоких порядков делает эту формулу непрактичной для большинства целей.

С появлением мощных персональных компьютеров основные усилия по использованию этой формулы были связаны с приближением или асимптотическим анализом обратного преобразования Лапласа с использованием Грюнвальд – Летников дифференциальный интеграл для оценки производных.

Инверсия Поста вызвала интерес в связи с развитием вычислительной техники и тем фактом, что нет необходимости знать, где находится полюса из F(s) lie, позволяющие вычислить асимптотику при больших Икс используя обратный Меллин трансформируется для нескольких арифметических функций, связанных с Гипотеза Римана.

Программные инструменты

ОбратноеЛаплацПреобразование выполняет символические обратные преобразования в Mathematica
Численное обращение преобразования Лапласа с многократной точностью с использованием комплексной области в системе Mathematica дает численные решения^[4]
ilaplace выполняет символические обратные преобразования в MATLAB
Численное обращение преобразований Лапласа в Matlab
Численное обращение преобразований Лапласа на основе концентрированных матрично-экспоненциальных функций в Matlab

Смотрите также

дальнейшее чтение

Дэвис, Б. Дж. (2002), Интегральные преобразования и их приложения (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95314-4
Манжиров, А. В .; Полянин, Андрей Д. (1998), Справочник интегральных уравнений, Лондон: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
Удав, Мэри (1983), Математические методы в физических науках, Джон Уайли и сыновья, п.662, ISBN 0-471-04409-1 (стр. 662 или поиск в указателе "Интеграл Бромвича", хорошее объяснение, показывающее связь с преобразованием Фурье)
Виддер, Д. В. (1946), Преобразование Лапласа, Princeton University Press
Элементарное обращение преобразования Лапласа. Брайан, Курт. По состоянию на 14 июня 2006 г.

внешняя ссылка

Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.

В этой статье использован материал обратной формулы Меллина о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] Коэн, А. М. (2007). «Формулы обращения и практические результаты». Численные методы обращения преобразования Лапласа. Численные методы и алгоритмы. 5. п. 23. Дои:10.1007/978-0-387-68855-8_2. ISBN 978-0-387-28261-9.

[2] Лерх, М. (1903). "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel". Acta Mathematica. 27: 339. Дои:10.1007 / BF02421315.

[Post1930-3] Пост, Эмиль Л. (1930). «Обобщенная дифференциация». Труды Американского математического общества. 32 (4): 723–723. Дои:10.1090 / S0002-9947-1930-1501560-X. ISSN 0002-9947.

[4] Abate, J .; Валко, П. П. (2004). «Обращение преобразования Лапласа с высокой точностью». Международный журнал численных методов в инженерии. 60 (5): 979. Дои:10.1002 / nme.995.

[1]

[2]

[3]

[4]