Инверсия в сфере - Inversion in a sphere

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к Сделайте это понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Март 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Инверсия в сфере»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Март 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья написано как личное размышление, личное эссе или аргументированное эссе который излагает личные чувства редактора Википедии или представляет оригинальный аргумент по теме. Пожалуйста помогите улучшить это переписав его в энциклопедический стиль. (Март 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Переворот цилиндра, проходящего через сферу.

В геометрия, инверсия в сфере это трансформация из Евклидово пространство который исправления точки сфера при отправке точек внутри сферы за пределы сферы, и наоборот. Интуитивно он «меняет местами внутреннюю и внешнюю» сферы, оставляя точки на сфере неизменными. Инверсия - это конформное преобразование, и является основной операцией инверсивная геометрия; это обобщение инверсия по кругу.

Определение

Инверсию в сфере проще всего описать с помощью полярные координаты. Выберите систему аффинные координаты так, чтобы центр сферы находился в источник и радиус сферы равно 1. Тогда каждую точку можно записать в виде рv, куда р это расстояние от точки до начала координат, а v это единичный вектор; более того, для каждой точки, кроме начала координат, это представление уникально. При таком представлении точки ее образом при сферической инверсии определяется точка р⁻¹v. Это определяет гомеоморфизм из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {n} setminus {0 }}$ себе. Как карта из евклидова пространства в себя, карта сферической инверсии не определена в начале координат, но мы можем расширить ее до ${ displaystyle { overline { mathbb {R} ^ {n}}}}$, то одноточечная компактификация из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, указав, что 0 следует отправить в бесконечность, а бесконечность - в 0. Таким образом, сферическую инверсию можно рассматривать как гомеоморфизм ${ displaystyle { overline { mathbb {R} ^ {n}}}}$.

Характеристики

Инверсия самообратный, и фиксирует точки, лежащие на сфере. Обратная линия - это круг через центр эталонной сферы и наоборот. Обратной стороной плоскости является сфера, проходящая через центр эталонной сферы, и наоборот. В противном случае обратная сторона круга - это круг; обратная сторона сферы - сфера.

Инверсия в сфере - мощное преобразование. Один простой пример находится в картографическая проекция Обычная проекция Северного или Южного полюса (стереографическая проекция ) - это инверсия от Земли к плоскости. Если бы вместо полюса в центре мы выбрали город, тогда Inversion могла бы создать карту, на которой все кратчайшие маршруты (большие круги) для полета из этого города выглядели бы как прямые линии, что упростило бы траекторию полета для пассажиров в наименее.

Доказательства

Пусть эталонной сферой будет Σ с центром O и радиусом r, обозначенным {O, r}. Все обратные в этой статье лежат в сфере Σ.

Результаты в этой статье основаны на трех простых идеях:

1. Подобные треугольники: масштабная модель имеет ту же форму, что и оригинал, т.е. все углы сохранены.

2. Угол в полукруге - это прямой угол. т.е. для любой точки полукруга диагональ составляет прямой угол (90^о).

3. Сумма углов треугольника равна 180.^о, поэтому внешний угол равен сумме двух других внутренних углов.

Определение

• Пусть P - точка на расстоянии n> 0 от O.
• Если P 'будет точкой на OP, в том же направлении, что и OP, так что OP.OP' = r², то P и P 'обратные точки
• Если n> r, то OP '
• Точки на поверхности Σ - единственные самообратные точки.

Строительство

• Как и в инверсии по кругу, обычная конструкция точки P вне сферы состоит в том, чтобы провести любую плоскость через OP,
  на плоскости проведите касательные от P к Σ, пересекая их в точках S, T.
• Пересечение хорды ST с OP дает P '. (Треугольники OPS, OSP 'похожи.)
• Для точки P внутри Σ, возьмите плоскость, проходящую через OP, нарисуйте хорду сферы в этой плоскости, нормальную к OP в P, пересекающую Σ, в S, T.
• Нарисуйте касательные на плоскости так, чтобы они пересекались в точке P ', обратной точке P.
• В любом случае прямоугольные треугольники OPT, OTP 'похожи, поэтому OP / OT = OT / OP'

(См. Рис. 1)

Рисунок 1

Инверсия пары точек

• Даны две точки A, B с обратными A ', B'; OA'.OA = r², OB'.OB = r².
• Итак, OA '/ OB' = OB / OA.
• Поскольку ∠AOB - это B'OA ', треугольники AOB, B'OA' подобны.
• Итак, ∠OAB = ∠OB'A ', ∠OBA = ∠OA'B'.

(См. Рис. 2)

Рис 2

Обратная линия

• Если прямая пересекает Σ, то только две точки пересечения являются самообратными.
• Если O лежит на линии, тогда линия обратная;

• Еще,

• Пусть P - основание перпендикуляра от O к прямой с обратным P ', и пусть X - любая точка на прямой с обратным X',
• По 'обращению пары точек' OX'P '= ∠OPX = 90^о.
• Итак, X 'лежит на окружности, проходящей через точку O, с диаметром OP'. (Угол в полукруге - это прямой угол)

(См. Рис. 3)

Рис 3

Примечание 4: Как правило, линия, обратная линии, представляет собой окружность, проходящую через центр отсчета.

Инверсия плоскости

• Если плоскость пересекает Σ, то каждая точка окружности пересечения самообратна.
• Если O лежит на плоскости, обратная сторона - это плоскость;
• Еще:

• Пусть основание перпендикуляра от O к плоскости будет P с обратным P '.
• Пусть X - любая точка на плоскости с обратным X '.
• По 'обращению пары точек' OX'P '= ∠OPX = 90^о.
• X 'лежит на сфере диаметра OP'. (Угол в полукруге есть прямоугольник)

Примечание 5: Как правило, плоскость, обратная плоскости, проходит через центр отсчета.

Обратная сфера

• Пусть сфера будет {A, a}, т.е. центром A и радиусом a> 0.
• Если сфера {A, a} пересекает Σ, единственные самообратные точки находятся на окружности пересечения.
• Если A находится в точке O, то сфера, обратная к сфере {A, a}, является концентрической сферой радиуса r.²/ а;

(Тривиально, если a = r, то каждая точка на {A, a} самообратна.)

• Еще

• если O лежит на сфере {A, a},
• Тогда пусть P - точка, диаметрально противоположная O на сфере {A, a}, причем P 'является обратной точкой P.
• Пусть X - любая точка на сфере {A, a} с обратным X '.
• Тогда по 'обращению пары точек' ∠OP'X '= ∠OXP = 90^о (угол в полукруге).
• Это верно для всех точек на сфере {A, a}.
• Итак, X 'лежит на плоскости, проходящей через P' перпендикулярно OP '.

• Еще,

• Пусть S, T - точки пересечения OA и сферы {A, a}, причем S ', T' - их обратные.
• ST - диаметр {A, a}.
• Пусть X - любая точка на сфере {A, a} с обратным X '.
• ∠OXT = ∠OT'X 'и ∠OXS = ∠OS'X'. (инверсия пары точек)

• Если T, S лежат по одну сторону от O.

• ∠T'X'S '= ∠OX'S' - ∠OX'T '
• = ∠OSX - ∠OTX (инверсия пары точек).
• = ∠TXS (внешний угол равен сумме внутренних углов)
• = 90^о (угол в полукруге - это прямой угол)
• Итак, X 'лежит на полукруге с диаметром T'S'.
• Это верно для каждой точки на сфере {A, a}.
• Итак, X 'лежит на сфере с диаметром T'S'.

(См. Рис. 4)

Рис 4

• Если T, S лежат по разные стороны от O:

• ∠OXT + ∠OXS = 90^о (угол в полукруге - это прямоугольник).
• ∠T'X'S '= ∠OX'T' + ∠OX'S '
• = ∠OTX + ∠OSX (инверсия пары точек).
• = 180^о - ∠TXS (сумма углов в треугольнике 180^о)
• Итак, ∠T'X'S '= 90^о, а X 'лежит на полукруге с диаметром T'S' (угол в полукруге - это прямоугольник).
• Как прежде:
• Это верно для каждой точки на сфере {A, a}.
• Итак, X 'лежит на сфере с диаметром T'S'.

(См. Рис. 5)

Рис 5

Примечание 6: Обычно сфера, обратная сфере, - это сфера.
(Единственное исключение - когда центр эталонной сферы лежит на сфере.)

Обратный круг

• Пусть окружность c с центром C и радиусом a лежит на плоскости ψ.
• Если c пересекает сферу, единственными самообратными точками являются эти два пересечения.
• Пусть S, T - ближайшая и самая дальняя точки c от O (т.е.OT> OS), где T ', S' - их обратные,
• Если C находится в O, то обратный элемент c - концентрическая окружность радиуса r²/ а;

• Еще

• если O лежит на c,
• Тогда пусть OP будет диаметром c, а P '- обратным к P.
• Пусть X - любая точка окружности с обратным X '.
• По 'обращению пары точек' OP'X '= ∠OXP = 90^о.
• Обратные точки окружности лежат на прямой плоскости c, перпендикулярной OP ';

• Еще

• Если O лежит в плоскости c, то c - это большая окружность сферы {C, a} в плоскости, проходящей через O, S, T, поэтому аргументы, которые применяются к инверсии сферы, также применимы к обратной окружности c , с результатами, аналогичными результатам раздела 6.

(См. Рис. 3, 4, 5)

• Еще,

• в общем случае, когда O не лежит на ψ, плоскости c;
• Пусть A, B - две точки на прямой, проходящей через C, перпендикулярной ψ.
• Пусть Λ, Ω, - две сферы, проходящие через точку c, с центрами A, B, но не через O.
• Пусть а сферы, Λ ', Ω', являются обратными к Λ, Ω (см. Примечание 6).
• Каждая точка, обратная к c, лежит как на Λ ', так и на Ω'.
• Пересечение сфер Λ ', Ω' есть окружность c ', скажем, обратная к c.

• Если O lis на прямой AB, конус проекции будет правильным круговым,

и если c лежит на сфере Σ, то каждая точка c самообратна;

Примечание 7: Обычно круг, противоположный кругу, - это круг.

(Единственное исключение - когда центр эталонной сферы лежит на окружности.

Результаты инверсии в сфере

1. Линия, проходящая через центр инверсии, является самообратной.
2. Обычно обратная линия - это окружность, проходящая через центр инверсии.
3. Обратной стороной круга через центр инверсии является линия.
4. Обычно круг, противоположный кругу, - это круг.
5. Плоскость, проходящая через центр инверсии, является самообратной.
6. Как правило, обратная сторона плоскости - это сфера, проходящая через центр инверсии.
7. Обратная сфера через центр инверсии - это плоскость.
8. Обычно сфера, обратная сфере, - это сфера.

Смотрите также

• Инверсивная геометрия
• Обратная кривая
• Инверсия кривых и поверхностей (немецкий)

Рекомендации