График Джонсона - Википедия - Johnson graph

Граф Джонсона
Граф Джонсона J (5,2) .svg
Граф Джонсона J(5,2)
Названный в честьСелмер М. Джонсон
Вершины
Края
Диаметр
Характеристики-обычный
Вершинно-транзитивный
Дистанционно-транзитивный
Гамильтон-связанный
Обозначение
Таблица графиков и параметров

Графики Джонсона особый класс неориентированные графы определяется из систем множеств. Вершины графа Джонсона являются -элементные подмножества -комплект элементов; две вершины смежны, если пересечение двух вершин (подмножеств) содержит -элементы.[1] И графы Джонсона, и тесно связанные с ними Схема Джонсона названы в честь Селмер М. Джонсон.

Особые случаи

Теоретико-графические свойства

  • изоморфен
  • Для всех , любая пара вершин на расстоянии Поделиться общие элементы.
  • Также известно, что граф Джонсона является-вершинно-связанные.[3]
  • то номер клики из дается выражением через его наименьшее и наибольшее собственные значения:

Группа автоморфизмов

Существует дистанционно-переходный подгруппа изоморфен . Фактически, , пока не ; иначе, .[6]

Массив пересечений

Как следствие того, что они дистанционно транзитивны, это также дистанционно-регулярный. Сдача обозначим его диаметр, массив пересечений дан кем-то

куда:

Оказывается, если является , его массив пересечений не используется совместно с каким-либо другим дистанционно регулярным графом; массив пересечений разделяется с тремя другими дистанционно регулярными графами, которые не являются графами Джонсона.[1]

Собственные значения и собственные векторы

  • Характеристический многочлен дан кем-то
куда [6]
  • Собственные векторы иметь четкое описание.[7]

Схема Джонсона

Граф Джонсона тесно связан с Схема Джонсона, схема ассоциации в котором каждая пара k-элементный набор связан с числом, половиной размера симметричная разница из двух наборов.[8] Граф Джонсона имеет ребро для каждой пары множеств на расстоянии один в схеме ассоциации, и расстояния в схеме ассоциации в точности равны кратчайший путь расстояния в графе Джонсона.[9]

Схема Джонсона также связана с другим семейством дистанционно-транзитивных графов, нечетные графики, вершины которого -элементные подмножества -элементное множество, ребра которого соответствуют непересекающимся парам подмножеств.[8]

Открытые проблемы

Свойства расширения вершин графов Джонсона, а также структура соответствующих экстремальных множеств вершин заданного размера до конца не изучены. Однако недавно была получена асимптотически точная нижняя оценка разложения больших множеств вершин.[10]

В общем, определение хроматического числа графа Джонсона - открытая проблема.[11]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Холтон, Д. А .; Шихан, Дж. (1993), «Графики Джонсона и даже графики», Граф Петерсена, Серия лекций Австралийского математического общества, 7, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 300, Дои:10.1017 / CBO9780511662058, ISBN  0-521-43594-3, МИСТЕР  1232658.
  2. ^ Альспах, Брайан (2013), «Графы Джонсона гамильтоновы связны», Ars Mathematica Contemporanea, 6 (1): 21–23, Дои:10.26493/1855-3974.291.574.
  3. ^ Ньюман, Илан; Рабинович, Юрий (2015), О связности фасетных графов симплициальных комплексов, arXiv:1502.02232, Bibcode:2015arXiv150202232N.
  4. ^ Рисполи, Фред Дж. (2008), График гиперсимплекса, arXiv:0811.2981, Bibcode:2008arXiv0811.2981R.
  5. ^ "Джонсон". www.win.tue.nl. Получено 2017-07-26.
  6. ^ а б Э., Брауэр, Андрис (1989). Дистанционно-регулярные графики. Коэн, Арджех М., Ноймайер, Арнольд. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN  9783642743436. OCLC  851840609.
  7. ^ Фильмус, Юваль (2014), Ортогональный базис для функций над срезом булевого гиперкуба, arXiv:1406.0142, Bibcode:2014arXiv1406.0142F.
  8. ^ а б Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Cambridge University Press, стр. 95, ISBN  9780521653787.
  9. ^ Таким образом, явное отождествление графов со схемами ассоциации можно увидеть в Боз, Р. К. (1963), "Сильно регулярные графы, частичные геометрии и частично сбалансированные планы", Тихоокеанский математический журнал, 13 (2): 389–419, Дои:10.2140 / pjm.1963.13.389, МИСТЕР  0157909.
  10. ^ Христофидес, Деметрес; Эллис, Дэвид; Кееваш, Питер (2013), "Приближенное вершинно-изопериметрическое неравенство для $ r $ -множеств", Электронный журнал комбинаторики, 4 (20).
  11. ^ 1949-, Годсил, К. Д. (Кристофер Дэвид) (2016). Теоремы Эрдеша-Ко-Радо: алгебраические подходы. Мигер, Карен (учитель колледжа). Кембридж, Соединенное Королевство. ISBN  9781107128446. OCLC  935456305.CS1 maint: числовые имена: список авторов (связь)

внешняя ссылка