K-граф C * -алгебра - K-graph C*-algebra

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) эта статья может потребоваться реорганизация для соответствия требованиям Википедии рекомендации по макету. Пожалуйста, помогите редактирование статьи для внесения улучшений в общую структуру. (Июнь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья может быть сбивает с толку или неясно читателям. Пожалуйста, помоги нам прояснить статью. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Июнь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью от обеспечение большего контекста для читателя. (Июнь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Май 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья требует внимания специалиста по математике. Пожалуйста, добавьте причина или говорить в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Июнь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а k-граф (или более высокого ранга график, граф ранга k) является счетный категория ${ displaystyle Lambda}$ с участием домен и codomain карты ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle s}$вместе с функтор ${ displaystyle d: Lambda to mathbb {N} ^ {k}}$ который удовлетворяет следующему факторизация свойство: если ${ Displaystyle д ( лямбда) = т + п}$ то есть уникальные ${ displaystyle mu, nu in Lambda}$ с участием ${ Displaystyle д ( му) = м, д ( ню) = п}$ такой, что ${ displaystyle lambda = mu nu}$.

Помимо определения теории категорий, можно думать о k-графах как о многомерных аналогах ориентированных графов (орграфов). k- здесь означает количество «цветов» ребер, которые участвуют в графе. Если k = 1, k-граф - это просто регулярный ориентированный граф. Если k = 2, в графе участвуют ребра двух разных цветов, и должны быть определены дополнительные правила факторизации двухцветных эквивалентных классов. Правило факторизации каркаса k-графа - это то, что отличает один k-граф, определенный на том же каркасе, от другого k-графа. k- может быть любым натуральным числом, большим или равным 1.

Причина, по которой k-графы были впервые введены Kumjian, Pask et. al. Из них было создать примеры C * -алгебры. k-графы состоят из двух частей: скелета и правил факторизации, определенных для данного скелета. Как только k-граф определен правильно, можно определить функции, называемые 2-коциклами, на каждом графе, а C * -алгебры могут быть построены из k-графов и 2-коциклов. k-графы относительно просты для понимания с точки зрения теории графов, но достаточно сложны, чтобы выявить различные интересные свойства на уровне C * -алгебры. Такие свойства, как гомотопия и когомологии на 2-коциклах, определенных на k-графах, имеют значение для исследований C * -алгебры и K-теории. Никакого другого известного использования k-графов до сих пор не существует. k-графы изучаются исключительно с целью создания из них C * -алгебр.

Задний план

Теория конечных графов в ориентированном графе формирует математическую категорию при конкатенации, называемую категорией свободных объектов (которая порождается графом). Длина пути в ${ displaystyle E}$ дает функцию из этой категории в натуральные числа ${ Displaystyle mathbb {N}}$.A k-граф является естественным обобщением этой концепции, введенной в 2000 году Алексом Кумджяном и Дэвидом Паском.^[1]

Примеры

• Можно показать, что 1-граф - это в точности категория путей ориентированного графа.
• Категория ${ displaystyle T ^ {k}}$ состоящий из одного объекта и k коммутирующие морфизмы ${ displaystyle {f_ {1}, ..., f_ {k}}}$вместе с картой ${ displaystyle d: T ^ {k} to mathbb {N} ^ {k}}$ определены ${ displaystyle d (f_ {1} ^ {n_ {1}} ... f_ {k} ^ {n_ {k}}) = (n_ {1}, ldots, n_ {k})}$, является k-графом.
• Позволять ${ displaystyle Omega _ {k} = {(m, n): m, n in mathbb {Z} ^ {k}, m leq n }}$ тогда ${ displaystyle Omega _ {k}}$ является k-графом при наличии структурных отображений ${ Displaystyle г (м, п) = (м, м)}$, ${ Displaystyle s (т, п) = (п, п)}$, ${ Displaystyle (т, п) (п, р) = (т, р)}$ и ${ Displaystyle д (м, п) = п-м}$.

Обозначение

Обозначения для k-графов широко заимствованы из соответствующих обозначений для категорий:

• Для ${ Displaystyle п в mathbb {N} ^ {k}}$ позволять ${ displaystyle Lambda ^ {n} = d ^ {- 1} (n)}$.
• По свойству факторизации следует, что ${ Displaystyle Lambda ^ {0} = OperatorName {Obj} ( Lambda)}$.
• Для ${ displaystyle v, w in Lambda ^ {0}}$ и ${ Displaystyle X substeq Lambda}$ у нас есть ${ displaystyle vX = { lambda in X: r ( lambda) = v }}$, ${ displaystyle Xw = { lambda in X: s ( lambda) = w }}$ и ${ displaystyle vXw = vX cap Xw}$.
• Если ${ displaystyle 0 < # v Lambda ^ {n} < infty}$ для всех ${ displaystyle v in Lambda ^ {0}}$ и ${ Displaystyle п в mathbb {N} ^ {k}}$ тогда ${ displaystyle Lambda}$ называется конечной по строкам без источников.

Визуализация - Скелеты

K-граф лучше всего визуализировать, нарисовав его 1-скелет в виде k-цветной граф ${ displaystyle E = (E ^ {0}, E ^ {1}, r, s, c)}$ где${ displaystyle E ^ {0} = Lambda ^ {0}}$, ${ Displaystyle E ^ {1} = чашка _ {я = 1} ^ {k} Lambda ^ {e_ {i}}}$, ${ displaystyle r, s}$ унаследовано от ${ displaystyle Lambda}$и ${ displaystyle c: E ^ {1} to {1, ldots, k }}$ определяется ${ Displaystyle с (е) = я}$если и только если ${ Displaystyle е в Лямбда ^ {е_ {я}}}$ где ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$ канонические генераторы для ${ displaystyle mathbb {N} ^ {k}}$. Свойство факторизации в ${ displaystyle Lambda}$ для элементов степени ${ displaystyle e_ {i} + e_ {j}}$ где ${ displaystyle i neq j}$ порождает отношения между краями${ displaystyle E}$.

C * -алгебра

Как и в случае с граф-алгебрами, можно связать C * -алгебру с k-графом:

Позволять ${ displaystyle Lambda}$ конечный по строкам k-граф без источников, то Кунц – Кригер ${ displaystyle Lambda}$ семья в C * -алгебра B это коллекция ${ displaystyle {s _ { lambda}: lambda in Lambda }}$ из операторы в B такой, что

1. ${ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu} = s _ { lambda mu}}$ если ${ displaystyle lambda, mu, lambda mu in Lambda}$;
2. ${ displaystyle {s_ {v}: v in Lambda ^ {0} }}$ взаимно ортогональны прогнозы;
3. если ${ Displaystyle д ( му) = д ( ню)}$ тогда ${ displaystyle s _ { mu} ^ {*} s _ { nu} = delta _ { mu, nu} s_ {s ( mu)}}$;
4. ${ displaystyle s_ {v} = sum _ { lambda in v Lambda ^ {n}} s _ { lambda} s _ { lambda} ^ {*}}$ для всех ${ Displaystyle п в mathbb {N} ^ {k}}$ и ${ displaystyle v in Lambda ^ {0}}$.

${ Displaystyle C ^ {*} ( Lambda)}$ тогда универсальный C * -алгебра, порожденная алгеброй Кунца – Кригера ${ displaystyle Lambda}$-семья.

использованная литература

• Реберн, И., Алгебры графов, Серия региональных конференций CBMS по математике, 103, Американское математическое общество