Лемма Калмана – Якубовича – Попова. - Kalman–Yakubovich–Popov lemma

В Лемма Калмана – Якубовича – Попова. это результат Системный анализ и теория управления который гласит: Учитывая число , два n-вектора B, C и n x n Матрица Гурвица A, если пара полностью управляемый, то симметричная матрица P и вектор Q, удовлетворяющие

существует тогда и только тогда, когда

Кроме того, множество ненаблюдаемое подпространство для пары .

Лемму можно рассматривать как обобщение Уравнение Ляпунова в теории устойчивости. Он устанавливает связь между линейное матричное неравенство с участием пространство состояний строит A, B, C и условие в частотная область.

Лемма Калмана – Попова – Якубовича, впервые сформулированная и доказанная в 1962 г. Владимир Андреевич Якубович[1] где было сказано, что для строгого частотного неравенства. Опубликован случай нестрогого частотного неравенства. в 1963 году Рудольф Э. Кальман.[2] В этой статье также была установлена ​​связь с разрешимостью уравнений Лурье. В обеих статьях рассматривались системы со скалярными входами. Ограничение на размерность управления было снято в 1964 году Гантмахером и Якубовичем.[3] и независимо Василе Михай Попов.[4] Обширный обзор темы можно найти в.[5]

Многопараметрическая лемма Калмана – Якубовича – Попова.

Данный с для всех и контролируемые, следующие эквиваленты:

  1. для всех
  2. существует матрица такой, что и

Соответствующая эквивалентность строгих неравенств имеет место, даже если не поддается контролю. [6]


Рекомендации

  1. ^ Якубович, Владимир Андреевич (1962). «Решение некоторых матричных неравенств в теории автоматического управления». Докл. Акад. АН СССР. 143 (6): 1304–1307.
  2. ^ Кальман, Рудольф Э. (1963). «Функции Ляпунова для задачи Лурье в автоматическом управлении» (PDF). Труды Национальной академии наук. 49 (2): 201–205. Bibcode:1963ПНАС ... 49..201К. Дои:10.1073 / pnas.49.2.201. ЧВК  299777. PMID  16591048.
  3. ^ Гантмахер, Ф. и Якубович В.А. (1964). Абсолютная устойчивость нелинейных управляемых систем, Тр. II Всесоюзная конф. Теоретическая прикладная механика. Москва: Наука.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  4. ^ Попов, Василий М. (1964). «Гиперстабильность и оптимальность автоматических систем с несколькими функциями управления». Преподобный Roumaine Sci. Технология. 9 (4): 629–890.
  5. ^ Гусев С. В., Лихтарников А. Л. (2006). «Лемма Калмана-Попова-Якубовича и S-процедура: Исторический очерк». Автоматизация и дистанционное управление. 67 (11): 1768–1810. Дои:10,1134 / с000511790611004x.
  6. ^ Андерс Ранцер (1996). «О лемме Калмана – Якубовича – Попова». Письма о системах и управлении. 28 (1): 7–10. Дои:10.1016/0167-6911(95)00063-1.

Б. Брольято, Р. Лозано, М. Машке, О. Эгеланн, Анализ и управление диссипативными системами, Springer Nature Switzerland AG, 3-е издание, 2020 г. (глава 3, стр. 81-262), ISBN 978-3-030-19419-2