Теорема Колмогорова о трех рядах - Википедия - Kolmogorovs three-series theorem

В теория вероятности, Теорема Колмогорова о трех рядах, названный в честь Андрей Колмогоров, дает критерий почти уверен конвергенция из бесконечная серия из случайные переменные в терминах сходимости трех различных рядов, включающих свойства их распределения вероятностей. Теорема Колмогорова о трех рядах в сочетании с Лемма Кронекера, можно использовать для сравнительно простого доказательства Сильный закон больших чисел.^[1]

Формулировка теоремы

Позволять ${ displaystyle (X_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ быть независимые случайные величины. Случайная серия ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} X_ {п}}$ сходится почти наверняка в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ если для некоторого ${ displaystyle A> 0}$ , и только если для любых ${ displaystyle A> 0}$ :

${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} mathbb {P} (| X_ {n} | geq A)}$ сходится.
Позволять ${ displaystyle Y_ {n} = X_ {n} mathbf {1} _ { {| X_ {n} | leq A }}}$ , тогда ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} mathbb {E} [Y_ {п}]}$ , серия ожидаемые значения из ${ displaystyle Y_ {n}}$ , сходится.
${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} mathrm {var} (Y_ {п})}$ сходится.

Доказательство

Достаточность условий («если»)

Условие (i) и Борель – Кантелли дать это ${ displaystyle X_ {n} = Y_ {n}}$ за ${ displaystyle n}$ большой, почти наверняка. Следовательно ${ Displaystyle textstyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} X_ {п}}$ сходится тогда и только тогда, когда ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Y_ {n}}$ сходится. Условия (ii) - (iii) и Теорема Колмогорова о двух рядах дают почти надежную сходимость ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Y_ {n}}$ .

Необходимость условий («только если»)

Предположим, что ${ Displaystyle textstyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} X_ {п}}$ сходится почти наверняка.

Без условия (i) по Борелю – Кантелли существовали бы некоторые ${ displaystyle A> 0}$ такой, что ${ displaystyle {| X_ {n} | geq A }}$ бесконечно много ${ displaystyle n}$ , почти наверняка. Но тогда серии разошлись бы. Следовательно, у нас должно быть условие (i).

Мы видим, что из условия (iii) следует условие (ii): Теорема Колмогорова о двух сериях вместе с условием (i), примененным к случаю ${ displaystyle A = 1}$ дает сходимость ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (Y_ {n} - mathbb {E} [Y_ {n}])}$ . Итак, учитывая сходимость ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Y_ {n}}$ , у нас есть ${ Displaystyle textstyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} mathbb {E} [Y_ {п}]}$ сходится, поэтому следует условие (ii).

Таким образом, остается только продемонстрировать необходимость условия (iii), и мы получим полный результат. Это равносильно проверке условия (iii) для ряда ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} Z_ {n} = textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (Y_ {n} -Y '_ {n} )}$ где для каждого ${ displaystyle n}$ , ${ displaystyle Y_ {n}}$ и ${ displaystyle Y '_ {n}}$ находятся IID - то есть использовать предположение, что ${ displaystyle mathbb {E} [Y_ {n}] = 0}$ , поскольку ${ displaystyle Z_ {n}}$ последовательность случайных величин, ограниченных числом 2, почти наверное сходящаяся, и ${ displaystyle mathrm {var} (Z_ {n}) = 2 mathrm {var} (Y_ {n})}$ . Итак, мы хотим проверить, что если ${ Displaystyle textstyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} Z_ {п}}$ сходится, то ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} mathrm {var} (Z_ {n})}$ тоже сходится. Это частный случай более общего результата из теория мартингейла с слагаемыми, равными приращениям мартингейл последовательность и одинаковые условия ( ${ Displaystyle mathbb {E} [Z_ {n}] = 0}$ ; серия отклонения сходится; а слагаемые ограниченный ).^[2]^[3]^[4]

Пример

В качестве иллюстрации теоремы рассмотрим пример гармонический ряд со случайными знаками:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} pm { frac {1} {n}}.}

Здесь, " ${ displaystyle pm}$ "означает, что каждый термин ${ displaystyle 1 / n}$ берется со случайным знаком, который либо ${ displaystyle 1}$ или же ${ displaystyle -1}$ с соответствующими вероятностями ${ displaystyle 1/2, 1/2}$ , и все случайные знаки выбираются независимо. Позволять ${ displaystyle X_ {n}}$ в теореме обозначают случайную величину, которая принимает значения ${ displaystyle 1 / n}$ и ${ displaystyle -1 / n}$ с равными вероятностями. С ${ displaystyle A = 2}$ слагаемые первых двух рядов тождественно равны нулю и var (Y_п)= ${ Displaystyle п ^ {- 2}}$ . При этом выполняются условия теоремы, откуда следует, что гармонический ряд со случайными знаками почти наверняка сходится. С другой стороны, аналогичная серия (например) квадратного корня, обратного со случайными знаками, а именно

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} pm { frac {1} { sqrt {n}}},}

расходится почти наверняка, поскольку условие (3) теоремы не выполняется. Обратите внимание, что это отличается от поведения аналогичного ряда с чередование приметы, ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} / { sqrt {n}}}$ , который действительно сходится.

Примечания

^ Дарретт, Рик. «Вероятность: теория и примеры». Продвинутая серия Даксбери, Третье издание, Томсон Брукс / Коул, 2005, Раздел 1.8, стр. 60–69.
^ Солнце, Жунфэн. Конспект лекций. http://www.math.nus.edu.sg/~matsr/ProbI/Lecture4.pdf В архиве 2018-04-17 в Wayback Machine
^ М. Лоэв, "Теория вероятностей", Princeton Univ. Press (1963), стр. Разд. 16,3
^ W. Feller, "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9

[1] Дарретт, Рик. «Вероятность: теория и примеры». Продвинутая серия Даксбери, Третье издание, Томсон Брукс / Коул, 2005, Раздел 1.8, стр. 60–69.

[2] Солнце, Жунфэн. Конспект лекций. http://www.math.nus.edu.sg/~matsr/ProbI/Lecture4.pdf В архиве 2018-04-17 в Wayback Machine

[3] М. Лоэв, "Теория вероятностей", Princeton Univ. Press (1963), стр. Разд. 16,3

[4] W. Feller, "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9

[1]

[2]

[3]

[4]