Теорема Колмогорова о трех рядах - Википедия - Kolmogorovs three-series theorem

В теория вероятности, Теорема Колмогорова о трех рядах, названный в честь Андрей Колмогоров, дает критерий почти уверен конвергенция из бесконечная серия из случайные переменные в терминах сходимости трех различных рядов, включающих свойства их распределения вероятностей. Теорема Колмогорова о трех рядах в сочетании с Лемма Кронекера, можно использовать для сравнительно простого доказательства Сильный закон больших чисел.[1]

Формулировка теоремы

Позволять быть независимые случайные величины. Случайная серия сходится почти наверняка в если для некоторого , и только если для любых :

  1. сходится.
  2. Позволять , тогда , серия ожидаемые значения из , сходится.
  3. сходится.

Доказательство

Достаточность условий («если»)

Условие (i) и Борель – Кантелли дать это за большой, почти наверняка. Следовательно сходится тогда и только тогда, когда сходится. Условия (ii) - (iii) и Теорема Колмогорова о двух рядах дают почти надежную сходимость .

Необходимость условий («только если»)

Предположим, что сходится почти наверняка.

Без условия (i) по Борелю – Кантелли существовали бы некоторые такой, что бесконечно много , почти наверняка. Но тогда серии разошлись бы. Следовательно, у нас должно быть условие (i).

Мы видим, что из условия (iii) следует условие (ii): Теорема Колмогорова о двух сериях вместе с условием (i), примененным к случаю дает сходимость . Итак, учитывая сходимость , у нас есть сходится, поэтому следует условие (ii).

Таким образом, остается только продемонстрировать необходимость условия (iii), и мы получим полный результат. Это равносильно проверке условия (iii) для ряда где для каждого , и находятся IID - то есть использовать предположение, что , поскольку последовательность случайных величин, ограниченных числом 2, почти наверное сходящаяся, и . Итак, мы хотим проверить, что если сходится, то тоже сходится. Это частный случай более общего результата из теория мартингейла с слагаемыми, равными приращениям мартингейл последовательность и одинаковые условия (; серия отклонения сходится; а слагаемые ограниченный ).[2][3][4]

Пример

В качестве иллюстрации теоремы рассмотрим пример гармонический ряд со случайными знаками:

Здесь, ""означает, что каждый термин берется со случайным знаком, который либо или же с соответствующими вероятностями , и все случайные знаки выбираются независимо. Позволять в теореме обозначают случайную величину, которая принимает значения и с равными вероятностями. С слагаемые первых двух рядов тождественно равны нулю и var (Yп)=. При этом выполняются условия теоремы, откуда следует, что гармонический ряд со случайными знаками почти наверняка сходится. С другой стороны, аналогичная серия (например) квадратного корня, обратного со случайными знаками, а именно

расходится почти наверняка, поскольку условие (3) теоремы не выполняется. Обратите внимание, что это отличается от поведения аналогичного ряда с чередование приметы, , который действительно сходится.

Примечания

  1. ^ Дарретт, Рик. «Вероятность: теория и примеры». Продвинутая серия Даксбери, Третье издание, Томсон Брукс / Коул, 2005, Раздел 1.8, стр. 60–69.
  2. ^ Солнце, Жунфэн. Конспект лекций. http://www.math.nus.edu.sg/~matsr/ProbI/Lecture4.pdf В архиве 2018-04-17 в Wayback Machine
  3. ^ М. Лоэв, "Теория вероятностей", Princeton Univ. Press (1963), стр. Разд. 16,3
  4. ^ W. Feller, "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9