Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении - Kolmogorov–Arnold representation theorem

В реальный анализ и теория приближения, то Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении (или же теорема суперпозиции) утверждает, что каждый многомерный непрерывный функция можно представить как суперпозицию непрерывных функций одной переменной. Он решил более ограниченную, но более общую форму Тринадцатая проблема Гильберта.^[1][2]

Работы Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд установлено, что если ж является многомерной непрерывной функцией, то ж можно записать как конечное сочинение непрерывных функций одной переменной и бинарная операция из добавление.^[3] В частности,

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = sum _ {q = 0} ^ {2n} Phi _ {q} left ( сумма _ {p = 1} ^ {n} phi _ {q, p} (x_ {p}) right)}$.

Конструктивные доказательства и даже более конкретные конструкции можно найти в.^[4]

В каком-то смысле они показали, что единственной истинной многомерной функцией является сумма, поскольку любая другая функция может быть записана с использованием одномерный функции и суммирование.^[5]

История

Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении тесно связана с 13-я проблема Гильберта. В его Париж лекция в Международный конгресс математиков в 1900 г., Дэвид Гильберт сформулирован 23 задачи которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики.^[6] 13-я из этих задач касалась решения общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 решение может быть вычислено по формулам, содержащим только радикалы и арифметические операции. Для более высоких заказов, Теория Галуа показывает нам, что решения алгебраических уравнений не могут быть выражены в терминах основных алгебраических операций. Из так называемого Трансформация Чирнхауса что общее алгебраическое уравнение

${ displaystyle x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {0} = 0}$

можно перевести в форму ${ displaystyle y ^ {n} + b_ {n-4} y ^ {n-4} + cdots + b_ {1} y + 1 = 0}$. Преобразование Чирнхауза задается формулой, содержащей только радикалы, арифметические операции и преобразования. Следовательно, решение алгебраического уравнения степени ${ displaystyle n}$ можно представить как суперпозицию функций двух переменных, если ${ displaystyle n <7}$ и как суперпозиция функций ${ displaystyle n-4}$ переменные, если ${ displaystyle n geq 7}$. За ${ displaystyle n = 7}$ решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалов и решение уравнения ${ displaystyle y ^ {7} + b_ {3} y ^ {3} + b_ {2} y ^ {2} + b_ {1} y + 1 = 0}$.

Дальнейшее упрощение с помощью алгебраических преобразований кажется невозможным, что привело к гипотезе Гильберта о том, что «Решение общего уравнения степени 7 не может быть представлено как суперпозиция непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение Тринадцатая проблема Гильберта к представлению многомерной функции в виде суперпозиции низкоразмерных функций. В этом контексте это стимулировало многие исследования различных авторов по теории функций и другим смежным проблемам.^[7]

Варианты

Вариант теоремы Колмогорова, сокращающий количество внешних функций ${ displaystyle Phi _ {q}}$ связано с Джордж Лоренц.^[8] В 1962 году он показал, что внешние функции ${ displaystyle Phi _ {q}}$ можно заменить одной функцией ${ displaystyle Phi}$. Точнее, Лоренц доказал существование функций ${ displaystyle phi _ {q, p}}$, ${ Displaystyle д = 0,1, ldots, 2n}$, ${ Displaystyle р = 1, ldots, п,}$ такой, что

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = sum _ {q = 0} ^ {2n} Phi left ( sum _ {p = 1} ^ {n} phi _ {q, p} ( x_ {p}) right)}$.

Дэвид Спречер^[9] заменил внутренние функции ${ displaystyle phi _ {q, p}}$ одной-единственной внутренней функцией с соответствующим сдвигом в ее аргументе. Он доказал, что существуют реальные ценности ${ displaystyle eta, lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}}$, непрерывная функция ${ Displaystyle Phi двоеточие mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$, и действительная возрастающая непрерывная функция ${ Displaystyle фи двоеточие [0,1] rightarrow [0,1]}$ с ${ displaystyle phi in operatorname {Lip} ( ln 2 / ln (2N + 2))}$, за ${ Displaystyle N geq п geq 2}$, так что

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = sum _ {q = 0} ^ {2n} Phi left ( sum _ {p = 1} ^ {n} lambda _ {p} phi ( x_ {p} + eta q) + q right)}$.

Филипп А. Остранд ^[10] обобщил теорему Колмогорова о суперпозиции на компактные метрические пространства. За ${ displaystyle p = 1, ldots, m}$ позволять ${ displaystyle X_ {p}}$ быть компактными метрическими пространствами конечной размерности ${ displaystyle n_ {p}}$ и разреши ${ Displaystyle п = сумма _ {p = 1} ^ {m} n_ {p}}$. Тогда существуют непрерывные функции ${ displaystyle phi _ {q, p} двоеточие X_ {p} rightarrow [0,1], q = 0, ldots, 2n, p = 1, ldots, m}$ и непрерывные функции ${ displaystyle G_ {q} двоеточие [0,1] rightarrow mathbb {R}, q = 0, ldots, 2n}$ такая, что любая непрерывная функция ${ displaystyle f двоеточие X_ {1} times dots times X_ {m} rightarrow mathbb {R}}$ представима в виде

${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {m}) = sum _ {q = 0} ^ {2n} G_ {q} left ( sum _ {p = 1} ^ {m} phi _ {q, p} (x_ {p}) right)}$.

Ограничения

Теорема не верна в общем случае для сложных многомерных функций, как обсуждается здесь.^[11] Кроме того, негладкость внутренних функций и их «дикое поведение» ограничивают практическое использование представления,^[12] хотя по этому поводу ведутся споры ^[13]

Смотрите также

• Универсальная аппроксимационная теорема

Рекомендации

Источники

• Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций многих переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Известия АН СССР., 108 (1956), стр. 179–182; Английский перевод: Амер. Математика. Soc. Пер., 17 (1961), стр. 369–373.
• Владимир Арнольд, «О функциях трех переменных», Известия АН СССР., 114 (1957), стр. 679–681; Английский перевод: Амер. Математика. Soc. Пер., 28 (1963), стр. 51–54.

дальнейшее чтение

• С.Я. Хавинсон, Наилучшее приближение с помощью линейных суперпозиций (приблизительная номография), Переводы математических монографий AMS (1997)

внешняя ссылка

• Алгоритм глубокого машинного обучения для построения представления Колмогорова-Арнольда.