Теорема Кронеккерса - Википедия - Kroneckers theorem

В математика, Теорема Кронекера - теорема о диофантовом приближении, введенная Леопольд Кронекер  (1884 ).

Аппроксимационная теорема Кронекера была впервые доказана Л. Кронекером в конце 19 века. Теперь выяснилось, что это связано с идеей н-тор и Мера Малера со второй половины 20 века. С точки зрения физических систем, это приводит к тому, что планеты по круговым орбитам, равномерно движущиеся вокруг звезды, со временем принимают все выравнивания, если не существует точной зависимости между их орбитальными периодами.

Заявление

Теорема Кронекера это результат диофантовы приближения применительно к нескольким действительные числа Икся, для 1 ≤ яп, что обобщает Аппроксимационная теорема Дирихле к нескольким переменным.

Классическая аппроксимационная теорема Кронекера формулируется следующим образом.

Учитывая реальные п-кортежи и , условие:
выполняется тогда и только тогда, когда для любого с
номер также является целым числом.

Проще говоря, первое условие гласит, что кортеж можно сколь угодно хорошо аппроксимировать линейными комбинациями s (с целыми коэффициентами) и целые векторы.

В случае и Аппроксимационную теорему Кронекера можно сформулировать следующим образом.[1] Для любого , с иррационально и , то существуют целые числа и с , так что

Отношение к торам

В случае N числа, взятые как единое целое N-кортеж и указать п из тор

Т = рN/ ZN,

то закрытие подгруппы <п> создано п будет конечным, или некоторый тор T ′ содержалась в Т. Оригинал Теорема Кронекера (Леопольд Кронекер, 1884) заявил, что необходимое условие за

T ′ = Т,

что числа Икся вместе с 1 должно быть линейно независимый над рациональное число, это также достаточный. Здесь легко увидеть, что если линейная комбинация из Икся и 1 с ненулевыми коэффициентами рациональных чисел равен нулю, тогда коэффициенты могут быть приняты как целые числа, и персонаж χ группы Т кроме тривиальный персонаж принимает значение 1 на п. К Понтрягинская двойственность у нас есть T ′ содержится в ядро χ и, следовательно, не равно Т.

Фактически, тщательное использование здесь двойственности Понтрягина показывает, что вся теорема Кронекера описывает замыкание <п> как пересечение ядер х с

χ (п) = 1.

Это дает (антитон ) Связь Галуа между моногенный замкнутые подгруппы Т (с одним генератором в топологическом смысле) и наборов символов с ядром, содержащим заданную точку. Не все замкнутые подгруппы встречаются как моногенные; например, подгруппа, имеющая тор размерности ≥ 1 в качестве связного компонента единичного элемента и несвязная, не может быть такой подгруппой.

Теорема оставляет открытым вопрос о том, насколько хорошо (равномерно) кратные mP из п заполнить закрытие. В одномерном случае распределение равномерно по теорема о равнораспределении.

Смотрите также

Рекомендации

  • Кронекер, Л. (1884 г.), "Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen", Берл. Бер.: 1179–1193, 1271–1299
  • Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Теорема Кронекера», Энциклопедия математики, EMS Press
  1. ^ "Аппроксимационная теорема Кронекера". Вольфрам Mathworld. Получено 2019-10-26.