Скобка Лагранжа - Lagrange bracket

Скобки Лагранжа некоторые выражения тесно связаны с Скобки Пуассона которые были представлены Жозеф Луи Лагранж в 1808–1810 гг. для математической формулировки классическая механика, но в отличие от скобок Пуассона вышли из употребления.

Определение

Предположим, что (q₁, …, q_п, п₁, …, п_п) представляет собой систему канонические координаты на фазовое пространство. Если каждый из них выражается как функция двух переменных, ты и v, то скобка Лагранжа ты и v определяется формулой

${displaystyle [u, v] _ {p, q} = sum _ {i = 1} ^ {n} left ({frac {partial q_ {i}} {partial u}} {frac {partial p_ {i}}) {partial v}} - {frac {partial p_ {i}} {partial u}} {frac {partial q_ {i}} {partial v}} ight).}$

Характеристики

• Скобки Лагранжа не зависят от системы канонические координаты (q, п). Если (Q,п) = (Q₁, …, Q_п, п₁, …, п_п) - другая система канонических координат, так что

${displaystyle Q = Q (q, p), P = P (q, p)}$

это каноническое преобразование, то скобка Лагранжа является инвариантом преобразования в том смысле, что

${displaystyle [u, v] _ {q, p} = [u, v] _ {Q, P}}$

Поэтому индексы, обозначающие канонические координаты, часто опускаются.

• Если Ω это симплектическая форма на 2n-мерное фазовое пространство W и ты₁,…,ты_2n сформировать систему координат на W, то канонические координаты (q,п) могут быть выражены как функции от координат ты и матрица скобок Лагранжа

${displaystyle [u_ {i}, u_ {j}] _ {p, q}, quad 1leq i, jleq 2n}$

представляет собой компоненты Ωрассматривается как тензор, в координатах ты. Эта матрица является обратный матрицы, образованной скобками Пуассона

${displaystyle {u_ {i}, u_ {j}}, quad 1leq i, jleq 2n}$

координат ты.

• Как следствие предыдущих свойств, координаты (Q₁, …, Q_п, п₁, …, п_п) на фазовом пространстве каноничны тогда и только тогда, когда скобки Лагранжа между ними имеют вид

${displaystyle [Q_ {i}, Q_ {j}] _ {p, q} = 0, четырехугольник [P_ {i}, P_ {j}] _ {p, q} = 0, quad [Q_ {i}, P_ {j}] _ {p, q} = - [P_ {j}, Q_ {i}] _ {p, q} = delta _ {ij}.}$

Смотрите также

• Лагранжева механика
• Гамильтонова механика

Рекомендации

• Корнелиус Ланцош, Вариационные принципы механики, Дувр (1986), ISBN  0-486-65067-7.
• Иглесиас, Патрик, Les origines du Calcul Symplectique Chez Lagrange [Истоки симплектического исчисления в работах Лагранжа], L'Enseign. Математика. (2) 44 (1998), нет. 3-4, 257–277. МИСТЕР1659212

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн. «Скобка Лагранжа». MathWorld.
• А.П. Солдатов (2001) [1994], «Скобка Лагранжа», Энциклопедия математики, EMS Press