Неравенство Ландау – Колмогорова - Википедия - Landau–Kolmogorov inequality

В математика, то Неравенство Ландау – Колмогорова., названный в честь Эдмунд Ландау и Андрей Колмогоров, это следующее семейство интерполяционные неравенства между разными производными функции ж определен на подмножестве Т реальных чисел:[1]

На реальной линии

За k = 1, п = 2, Т=р неравенство впервые было доказано Эдмундом Ландау[2] с резкой постоянной C(2, 1, р) = 2. После вкладов автора Жак Адамар и Георгий Шилов, Андрей Колмогоров нашел точные константы и произвольные п, k:[3]

куда ап являются Константы Фавара.

На полуоси

Следуя работе Маторина и других, экстремальные функции были найдены Исаак Якоб Шенберг,[4] Однако явный вид точных констант пока неизвестен.

Обобщения

Есть много обобщений, которые имеют вид

Здесь все три нормы могут отличаться друг от друга (от L1 к L, с п=q=р= ∞ в классическом случае) и Т может быть действительной осью, полуосью или замкнутым отрезком.

В Неравенство Каллмана – Рота обобщает неравенства Ландау – Колмогорова с оператора производной на более общие схватки на Банаховы пространства.[5]

Примечания

  1. ^ Weisstein, E.W. "Константы Ландау-Колмогорова". MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
  2. ^ Ландау, Э. (1913). "Ungleichungen für zweimal Differenzierbare Funktionen". Proc. Лондонская математика. Soc. 13: 43–49. Дои:10.1112 / плмс / с2-13.1.43.
  3. ^ Колмогоров, А. (1949). "О неравенствах между верхними границами последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале". Амер. Математика. Soc. Перевод. 1–2: 233–243.
  4. ^ Шенберг, И.Дж. (1973). "Элементарный случай проблемы неравенства между производными Ландау". Амер. Математика. Ежемесячно. 80 (2): 121–158. Дои:10.2307/2318373. JSTOR  2318373.
  5. ^ Каллман, Роберт Р .; Рота, Джан-Карло (1970), «О неравенстве ", Inequalities, II (Proc. Second Sympos., U.S. Air Force Acad., Colo., 1967), Нью-Йорк: Academic Press, стр. 187–192, МИСТЕР  0278059.