Неравенство Ландау – Колмогорова - Википедия - Landau–Kolmogorov inequality

В математика, то Неравенство Ландау – Колмогорова., названный в честь Эдмунд Ландау и Андрей Колмогоров, это следующее семейство интерполяционные неравенства между разными производными функции ж определен на подмножестве Т реальных чисел:^[1]

${ displaystyle | f ^ {(k)} | _ {L _ { infty} (T)} leq C (n, k, T) { | f | _ {L _ { infty} (T )}} ^ {1-k / n} { | f ^ {(n)} | _ {L _ { infty} (T)}} ^ {k / n} { text {for}} 1 leq k$

На реальной линии

За k = 1, п = 2, Т=р неравенство впервые было доказано Эдмундом Ландау^[2] с резкой постоянной C(2, 1, р) = 2. После вкладов автора Жак Адамар и Георгий Шилов, Андрей Колмогоров нашел точные константы и произвольные п, k:^[3]

${ Displaystyle С (п, к, mathbb {R}) = а_ {п-к} а_ {п} ^ {- 1 + к / п} ~,}$

куда а_п являются Константы Фавара.

На полуоси

Следуя работе Маторина и других, экстремальные функции были найдены Исаак Якоб Шенберг,^[4] Однако явный вид точных констант пока неизвестен.

Обобщения

Есть много обобщений, которые имеют вид

${ Displaystyle | е ^ {(к)} | _ {L_ {q} (T)} leq K cdot { | f | _ {L_ {p} (T)} ^ { alpha} } cdot { | f ^ {(n)} | _ {L_ {r} (T)} ^ {1- alpha}} { text {for}} 1 leq k$

Здесь все три нормы могут отличаться друг от друга (от L₁ к L_∞, с п=q=р= ∞ в классическом случае) и Т может быть действительной осью, полуосью или замкнутым отрезком.

В Неравенство Каллмана – Рота обобщает неравенства Ландау – Колмогорова с оператора производной на более общие схватки на Банаховы пространства.^[5]

Примечания

→