Преобразование Ланденса - Википедия - Landens transformation

Преобразование Ландена отображение параметров эллиптический интеграл, полезно для эффективного численного вычисления эллиптических функций. Первоначально это было связано с Джон Ланден и независимо заново открыты Карл Фридрих Гаусс.^[1]

Заявление

В неполный эллиптический интеграл первого рода $F$ является

{ Displaystyle F ( varphi setminus alpha) = F ( varphi, sin alpha) = int _ {0} ^ { varphi} { frac {d theta} { sqrt {1- ( sin theta sin alpha) ^ {2}}}},}

куда ${ displaystyle alpha}$ - модульный угол. Преобразование Ландена утверждает, что если ${ displaystyle alpha _ {0}}$ , ${ displaystyle alpha _ {1}}$ , ${ displaystyle varphi _ {0}}$ , ${ displaystyle varphi _ {1}}$ такие, что ${ Displaystyle (1+ грех альфа _ {1}) (1+ соз альфа _ {0}) = 2}$ и ${ displaystyle tan ( varphi _ {1} - varphi _ {0}) = cos alpha _ {0} tan varphi _ {0}}$ , тогда^[2]

{ displaystyle { begin {align} F ( varphi _ {0} setminus alpha _ {0}) & = (1+ cos alpha _ {0}) ^ {- 1} F ( varphi _ {1} setminus alpha _ {1}) & = { tfrac {1} {2}} (1+ sin alpha _ {1}) F ( varphi _ {1} setminus alpha _ {1}). End {выравнивается}}}

Преобразование Ландена можно аналогичным образом выразить через эллиптический модуль ${ Displaystyle к = грех альфа}$ и его дополнение ${ Displaystyle к '= соз альфа}$ .

Полный эллиптический интеграл

В формулировке Гаусса значение интеграла

{ displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta}

не меняется, если ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ заменяются их арифметика и геометрические средства соответственно, то есть

{ displaystyle a_ {1} = { frac {a + b} {2}}, qquad b_ {1} = { sqrt {ab}},}

{ displaystyle I_ {1} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a_ {1} ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b_ {1} ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta.}

Следовательно,

{ displaystyle I = { frac {1} {a}} K ({ frac { sqrt {(a ^ {2} -b ^ {2})}} {a}}),}

{ displaystyle I_ {1} = { frac {2} {a + b}} K ({ frac {a-b} {a + b}}).}

Из преобразования Ландена мы заключаем

{ displaystyle K ({ frac { sqrt {(a ^ {2} -b ^ {2})}} {a}}) = { frac {2a} {a + b}} K ({ frac {ab} {a + b}})}

и ${ displaystyle I_ {1} = I}$ .

Доказательство

Преобразование может быть осуществлено интеграция путем замены. Удобно сначала записать интеграл в алгебраический форма путем замены ${ displaystyle theta = arctan left ({ frac {x} {b}} right)}$ , ${ displaystyle d theta = left ({ frac {1} {b}} cos ^ {2} ( theta) right) dx}$ давая

{ displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {(x ^ {2}) + a ^ {2}) (x ^ {2} + b ^ {2})}}} , dx}

Дальнейшая замена ${ Displaystyle х = т + { sqrt {т ^ {2} + ab}}}$ дает желаемый результат

{ displaystyle { begin {align} I & = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {(x ^ {2} + a ^ {2}) (x ^ {2 } + b ^ {2})}}} , dx & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {2 { sqrt { left (t ^ {2 } + left ({ frac {a + b} {2}} right) ^ {2} right) (t ^ {2} + ab)}}}} , dt & = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt { left (t ^ {2} + left ({ frac {a + b} {2}} right) ^ {2} right) left (t ^ {2} + left ({ sqrt {ab}} right) ^ {2} right)}}} , dt end {выровнено}}}

Этому последнему шагу способствует запись радикала как

{ displaystyle { sqrt {(x ^ {2} + a ^ {2}) (x ^ {2} + b ^ {2})}} = 2x { sqrt {t ^ {2} + left ( { frac {a + b} {2}} right) ^ {2}}}}

и бесконечно малый как

{ displaystyle dx = { frac {x} { sqrt {t ^ {2} + ab}}} , dt}

так что фактор ${ displaystyle x}$ признается и отменяется между двумя факторами.

Среднее арифметико-геометрическое и первый интеграл Лежандра

Если преобразование повторяется несколько раз, то параметры ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ очень быстро сходятся к общему значению, даже если изначально они имеют разные порядки величины. Предельное значение называется среднее арифметико-геометрическое из ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ , ${ displaystyle operatorname {AGM} (a, b)}$ . В пределе подынтегральная функция становится константой, так что интегрирование тривиально.

{ displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { operatorname {AGM} (a, b)}} , d theta = { frac { pi} {2 , operatorname {AGM} (a, b)}}}

Интеграл также может быть распознан как кратное Полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода. Положив ${ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} (1-k ^ {2})}$