Лежандровая форма - Legendre form

В математика, то Легандровые формы эллиптические интегралы представляют собой канонический набор из трех эллиптических интегралов, к которым могут быть сведены все остальные. Legendre выбрал имя эллиптические интегралы потому что^[1] второй вид дает длина дуги из эллипс единицы большой полуоси и эксцентриситет ${ displaystyle scriptstyle {k}}$ (эллипс определяется параметрически ${ displaystyle scriptstyle {x = { sqrt {1-k ^ {2}}} cos (t)}}$, ${ displaystyle scriptstyle {y = sin (t)}}$).

В наше время формы Лежандра были в значительной степени вытеснены альтернативным каноническим набором, Симметричные формы Карлсона. Более подробное рассмотрение форм Лежандра дается в основной статье о эллиптические интегралы.

Определение

В неполный эллиптический интеграл первого рода определяется как,

${ Displaystyle F ( phi, k) = int _ {0} ^ { phi} { frac {1} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} (t)}} } dt,}$

то второй вид в качестве

${ Displaystyle E ( phi, k) = int _ {0} ^ { phi} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} (t)}} , dt,}$

и третий вид в качестве

${ displaystyle Pi ( phi, n, k) = int _ {0} ^ { phi} { frac {1} {(1-n sin ^ {2} (t)) { sqrt { 1-k ^ {2} sin ^ {2} (t)}}}} , dt.}$

Аргумент п интеграла третьего вида известен как характеристика, который в различных условных обозначениях может отображаться как первый, второй или третий аргумент Π и, кроме того, иногда определяется с противоположным знаком. Порядок аргументов, показанный выше, соответствует порядку Градштейн и Рыжик^[2] а также Числовые рецепты.^[3] Выбор знака - это выбор Абрамовиц и Стегун^[4] а также Градштейн и Рыжик,^[2] но соответствует ${ displaystyle scriptstyle { Pi ( phi, -n, k)}}$ из Числовые рецепты.^[3]

Соответствующие полные эллиптические интегралы получаются путем установки амплитуда, ${ displaystyle scriptstyle { phi}}$, верхний предел интегралов, до ${ displaystyle scriptstyle { pi / 2}}$.

Лежандровая форма эллиптическая кривая дан кем-то

${ Displaystyle у ^ {2} = х (х-1) (х- лямбда)}$

Числовая оценка

Классический метод оценки - это Преобразования Ландена. Нисходящее преобразование Ландена уменьшает модуль ${ displaystyle scriptstyle {k}}$ к нулю, при увеличении амплитуды ${ displaystyle scriptstyle { phi}}$. И наоборот, восходящее преобразование увеличивает модуль до единицы, уменьшая при этом амплитуду. В любом из пределов ${ displaystyle scriptstyle {k}}$, ноль или единица, интеграл легко вычисляется.

Большинство современных авторов рекомендуют оценку с точки зрения Симметричные формы Карлсона, для которого существуют эффективные, надежные и относительно простые алгоритмы. Этот подход был принят Библиотеки Boost C ++, Научная библиотека GNU и Числовые рецепты.^[3]

Рекомендации

Смотрите также

• Симметричная форма Карлсона