Умывальник стол - Laver table

В математика, Столы умывальника (названный в честь Ричард Лейвер, открывший их в конце 1980-х годов в связи с его работами по теория множеств ) - это таблицы чисел, обладающие определенными свойствами. Они возникают при изучении стойки и quandles.

Определение

Для данного натуральное число п, можно определить п-й стол умывальника (с 2п строк и столбцов), установив

,

где п обозначает строку и q обозначает столбец записи. Операция - единственная операция, удовлетворяющая уравнениям

и

.

Последний иногда называют закон самораспределения, а множества, удовлетворяющие только этому свойству, называются полки.

Результирующая таблица затем называется п-й стол умывальника; например, для п = 2, имеем:

1234
12424
23434
34444
41234

Нет никаких известных выражение в закрытой форме для прямого вычисления записей таблицы Лейвера.[1]

Периодичность

Глядя на первую строку записей в таблице Лейвера, можно увидеть, что записи повторяются с определенной периодичностью. м. Эта периодичность всегда равна степени двойки; первые несколько периодичностей: 1, 1, 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, ... (последовательность A098820 в OEIS ). Последовательность возрастает, и в 1995 году Ричард Лавер доказал, что в предположении, что существует ранг в рангбольшой кардинал ), она фактически неограниченно возрастает.[2] Тем не менее растет крайне медленно; Рэндалл Догерти показал, что первый п для которых период записей таблицы может быть равен 32, это A (9, A (8, A (8,255))), где A обозначает Функция Аккермана.[3]

Рекомендации

  1. ^ Лебедь, Виктория (2014), "Умывальники: от теории множеств к теории кос", Ежегодный симпозиум по топологии, Университет Тохоку, Япония (PDF). См. Слайд 8/33.
  2. ^ Лейвер, Ричард (1995), "Об алгебре элементарных вложений ранга в себя", Успехи в математике, 110 (2): 334–346, Дои:10.1006 / aima.1995.1014, HDL:10338.dmlcz / 127328, Г-Н  1317621.
  3. ^ Догерти, Рэндалл (1993), "Критические точки в алгебре элементарных вложений", Анналы чистой и прикладной логики, 65 (3): 211–241, arXiv:math.LO / 9205202, Дои:10.1016/0168-0072(93)90012-3, Г-Н  1263319.

дальнейшее чтение