Теорема Лефшеца о (1,1) -классах - Lefschetz theorem on (1,1)-classes

В алгебраическая геометрия, филиал математика, то Теорема Лефшеца о (1,1) -классах, названный в честь Соломон Лефшец, является классическим утверждением, касающимся голоморфных линейные пакеты на компактный Кэлерово многообразие классам в своем интегральном когомология. Это единственный случай Гипотеза Ходжа что доказано для всех кэлеровых многообразий.^[1]

Формулировка теоремы

Позволять Икс - компактное кэлерово многообразие. Первый Черн класс c₁ дает отображение голоморфных линейных расслоений в ЧАС²(Икс, Z). К Теория Ходжа, то когомологии де Рама группа ЧАС²(Икс, C) раскладывается как прямая сумма ЧАС^0,2(Икс) ⊕ ЧАС^1,1(Икс) ⊕ ЧАС^2,0(Икс), и можно доказать, что изображение c₁ лежит в ЧАС^1,1(Икс). Теорема говорит, что отображение на ЧАС²(Икс, Z) ∩ ЧАС^1,1(Икс) сюръективно.

В частном случае, когда Икс это проективное разнообразие, голоморфные линейные расслоения находятся в биекции с классом линейной эквивалентности делители, и с учетом делителя D на Икс со связанным линейным пучком O (D), класс c₁(O (D)) двойственен Пуанкаре классу гомологий, заданному формулой D. Таким образом, это устанавливает обычную формулировку гипотезы Ходжа для дивизоров в проективных многообразиях.

Доказательство с использованием обычных функций

Оригинальное доказательство Лефшеца^[2] работал на проективных поверхностях и использовал нормальные функции, введенные Пуанкаре. Предположим, что C_т пучок кривых на Икс. Каждая из этих кривых имеет Якобиева многообразие JC_т (если кривая особая, существует подходящее обобщенное якобиево многообразие). Их можно собрать в семью ${ displaystyle { mathcal {J}}}$, якобиан пучка, который сопоставляется с отображением проекции π на базу Т карандаша. А нормальная функция является (голоморфным) сечением π.

Исправьте вложение Икс в п^N, и выберите пучок кривых C_т на Икс. Для фиксированной кривой Γ на Икс, пересечение Γ и C_т делитель п₁(т) + ... + п_d(т) на C_т, куда d степень Икс. Зафиксируйте базовую точку п₀ карандаша. Тогда делитель п₁(т) + ... + п_d(т) − дп₀ является делителем нулевой степени и, следовательно, определяет класс ν_Γ(т) в якобиане JC_т для всех т. Карта из т к ν_Γ(т) - нормальная функция.

Анри Пуанкаре доказал, что для общего пучка кривых все нормальные функции возникают как ν_Γ(т) при некотором выборе Γ. Лефшец доказал, что любая нормальная функция определяет класс в ЧАС²(Икс, Z) и что класс ν_Γ - фундаментальный класс графа Γ. Кроме того, он доказал, что класс в ЧАС²(Икс, Z) является классом нормальной функции тогда и только тогда, когда он принадлежит ЧАС^1,1. Вместе с теоремой существования Пуанкаре это доказывает теорему о (1,1) -классах.

Доказательство с использованием когомологий пучков

Потому что Икс является комплексным многообразием, оно допускает последовательность экспоненциальных пучков^[3]

${ displaystyle 0 to { underline { mathbf {Z}}} { stackrel {2 pi i} { longrightarrow}} { mathcal {O}} _ {X} { stackrel { operatorname {exp }} { longrightarrow}} { mathcal {O}} _ {X} ^ { times} до 0.}$

Взяв пучковые когомологии этой точной последовательности, мы получим отображения

${ displaystyle H ^ {1} (X, { mathcal {O}} _ {X} ^ { times}) { stackrel {c_ {1}} { to}} H ^ {2} (X, mathbf {Z}) { stackrel {i _ {*}} { to}} H ^ {2} (X, { mathcal {O}} _ {X}).}$

Группа Рис Икс из линейные пакеты на Икс изоморфен ${ displaystyle H ^ {1} (X, { mathcal {O}} _ {X} ^ { times})}$. Первое отображение класса Черна c₁ по определению, поэтому достаточно показать, что я_* равно нулю.

Потому что Икс Кэлер, Теория Ходжа подразумевает, что ${ displaystyle H ^ {2} (X, { mathcal {O}} _ {X}) cong H ^ {0,2} (X)}$. Тем не мение, я_* факторы через карту из ЧАС²(Икс, Z) к ЧАС²(Икс, C) и на ЧАС²(Икс, C), я_* ограничение проекции на ЧАС^0,2(Икс). Отсюда следует, что на ЧАС²(Икс, Z) ∩ ЧАС^1,1(Икс), и, следовательно, отображение классов цикла сюръективно.^[4]

Рекомендации

Библиография

• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, Дои:10.1002/9781118032527, ISBN  978-0-471-05059-9, МИСТЕР  1288523
• Лефшец, Соломон (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique, Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Emile Borel (на французском языке), Париж: Gauthier-Villars Перепечатано в Лефшец, Соломон (1971), Избранные статьи, Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0234-7, МИСТЕР  0299447