Уравнение Лиувилля – Брату – Гельфанда. - Liouville–Bratu–Gelfand equation

Для уравнения Лиувилля в дифференциальной геометрии см. Уравнение Лиувилля.

В математика, Уравнение Лиувилля – Брату – Гельфанда. или же Уравнение Лиувилля нелинейный Уравнение Пуассона, названный в честь математиков Джозеф Лиувиль,^[1] Г. Брату^[2] и Израиль Гельфанд.^[3] Уравнение гласит

${ displaystyle nabla ^ {2} psi + lambda e ^ { psi} = 0}$

Уравнение появляется в тепловой разгон в качестве Теория Франк-Каменецкого, астрофизика Например, Уравнение Эмдена – Чандрасекара. Это уравнение также описывает объемный заряд электричества вокруг светящегося провода.^[4] и описывает планетарная туманность.

Решение Лиувилля^[5]

В двух измерениях с декартовыми координатами ${ Displaystyle (х, у)}$, Джозеф Лиувиль предложил решение в 1853 году как

${ displaystyle lambda e ^ { psi} (u ^ {2} + v ^ {2} +1) ^ {2} = 2 left [ left ({ frac { partial u} { partial x }} right) ^ {2} + left ({ frac { partial u} { partial y}} right) ^ {2} right]}$

куда ${ displaystyle f (z) = u + iv}$ произвольный аналитическая функция с ${ displaystyle z = x + iy}$. В 1915 году Г.В. Уокер^[6] нашел решение, приняв форму для ${ displaystyle f (z)}$. Если ${ displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}$, то решение Уокера

${ displaystyle 8e ^ {- psi} = lambda left [ left ({ frac {r} {a}} right) ^ {n} + left ({ frac {a} {r}}) right) ^ {n} right] ^ {2}}$

куда ${ displaystyle a}$ - некоторый конечный радиус. Это решение затухает на бесконечности при любом ${ displaystyle n}$, но становится бесконечным в начале координат при ${ Displaystyle п <1}$ , становится конечным в нуле при ${ Displaystyle п = 1}$ и обращается в ноль в начале координат при ${ displaystyle n> 1}$. Уокер также предложил еще два решения в своей статье 1915 года.

Радиально-симметричные формы

Если исследуемая система радиально симметрична, то уравнение в ${ displaystyle n}$ измерение становится

${ displaystyle psi '' + { frac {n-1} {r}} psi '+ lambda e ^ { psi} = 0}$

куда ${ displaystyle r}$ расстояние от начала координат. С граничными условиями

${ Displaystyle psi '(0) = 0, quad psi (1) = 0}$

и для ${ displaystyle lambda geq 0}$, реальное решение существует только для ${ displaystyle lambda in [0, lambda _ {c}]}$, куда ${ displaystyle lambda _ {c}}$ критический параметр, называемый Параметр Франк-Каменецкого. Критический параметр ${ displaystyle lambda _ {c} = 0,8785}$ за ${ Displaystyle п = 1}$, ${ displaystyle lambda _ {c} = 2}$ за ${ displaystyle n = 2}$ и ${ displaystyle lambda _ {c} = 3,32}$ за ${ displaystyle n = 3}$. За ${ Displaystyle п = 1, 2}$существует два решения и для ${ Displaystyle 3 Leq п Leq 9}$ бесконечно много решений существует с решениями, колеблющимися вокруг точки ${ Displaystyle лямбда = 2 (п-2)}$. За ${ displaystyle n geq 10}$, решение единственное, и в этих случаях критический параметр определяется выражением ${ displaystyle lambda _ {c} = 2 (n-2)}$. Кратность решения для ${ displaystyle n = 3}$ был обнаружен Израиль Гельфанд в 1963 г., а затем в 1973 г. обобщено для всех ${ displaystyle n}$ к Дэниел Д. Джозеф и Томас С. Лундгрен.^[7]

Рекомендации