Теория Франк-Каменецкого - Википедия - Frank-Kamenetskii theory

В горение, Теория Франк-Каменецкого объясняет тепловой взрыв однородной смеси реагентов, хранящейся в закрытом сосуде с постоянной температурой стенок. Назван в честь русского ученого. Давид А. Франк-Каменецкий, который вместе с Николай Семенов разработал теорию в 1930-х гг.[1][2][3][4]

Описание проблемы[5][6][7][8][9]

Рассмотрим сосуд, в котором поддерживается постоянная температура. , содержащий гомогенную реакционную смесь. Пусть характерный размер судна равен . Поскольку смесь однородна, плотность постоянно. В начальный период зажигание, расход концентрации реагента незначителен (см. и ниже), поэтому взрыв регулируется только уравнением энергии. Предполагая одноэтапную глобальную реакцию , куда - количество тепла, выделяемого на единицу массы израсходованного топлива, а скорость реакции определяется Закон Аррениуса, уравнение энергии принимает вид

куда

Безразмерность

Безразмерная энергия активации и параметр тепловыделения находятся

Характерное время теплопроводности по емкости составляет , характерное время расхода топлива составляет а характерное время взрыва / возгорания . Следует отметить, что в процессе горения обычно так что . Следовательно, т. е. топливо расходуется гораздо дольше, чем время воспламенения, расход топлива существенно незначителен для изучения воспламенения / взрыва. По этой причине предполагается, что концентрация топлива такая же, как и исходная концентрация топлива. . Безразмерные масштабы

куда это Число Дамкёлера и - пространственная координата с началом в центре, для плоской плиты, для цилиндрического сосуда и для сферического сосуда. В этом масштабе уравнение принимает вид

С , экспоненциальный член можно линеаризовать , следовательно

Теория Семенова

Перед Франк-Каменецкий, его научный руководитель Николай Семенов (или Семенов) предложил теорию теплового взрыва с простой моделью, т.е. он предположил линейную функцию для процесса теплопроводности вместо Лапласиан оператор. Уравнение Семенова читается как

За , система взорвется, поскольку экспоненциальный член доминирует. За , система переходит в устойчивое состояние, система не взрывается. В частности, Семенов нашел критическое Число Дамкёлера, который называется Параметр Франк-Каменецкого (куда ) как критическая точка, в которой система переходит из устойчивого состояния во взрывоопасное. За , решение

Вовремя , система взорвется. Это время также называют период адиабатической индукции поскольку теплопроводность здесь незначительна.

Теория стационарного состояния Франк-Каменецкого[10][11]

Единственный параметр, характеризующий взрыв, - это Число Дамкёлера . Когда очень велико, время теплопроводности больше, чем время химической реакции, и система взрывается при высокой температуре, так как для теплопроводности недостаточно времени для отвода тепла. С другой стороны, когда очень мала, время теплопроводности намного меньше, чем время химической реакции, так что все тепло, производимое химической реакцией, немедленно передается на стену, поэтому взрыва нет, оно переходит в почти устойчивое состояние, Amable Liñán придумал этот режим как режим медленного реагирования. При критическом числе Дамкелера система переходит из режима медленного реагирования во взрывной режим. Следовательно, , система находится в устойчивом состоянии. Вместо того, чтобы решать всю проблему, чтобы найти это , Франк-Каменецкий решил задачу о стационарном состоянии для различных чисел Дамкелера до критического значения, за пределами которого не существует устойчивого решения. Итак, проблема, которую нужно решить,

с граничными условиями

второе условие связано с симметрией сосуда. Вышеприведенное уравнение является частным случаем Уравнение Лиувилля – Брату – Гельфанда. в математика.

Плоское судно

Франк-Каменецкий взрыв для планарного судна

Для плоского сосуда есть точное решение. Здесь , тогда

Если преобразования и , куда это максимальная температура, которая возникает при в силу симметрии вводятся

После однократного интегрирования и использования второго граничного условия уравнение принимает вид

и снова интегрируя

Вышеприведенное уравнение является точным решением, но максимальная температура неизвестна, но мы еще не использовали граничное условие стенки. Таким образом, используя граничное условие стенки в , максимальная температура получается из неявного выражения,

Критический получается путем нахождения максимальной точки уравнения (см. рисунок), т.е. в .

Таким образом, критический параметр Франка-Каменского равен . Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) в течение и для , система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией.

Цилиндрический сосуд

Франк-Каменецкий взрыв для цилиндрического сосуда

Для цилиндрического сосуда есть точное решение. Хотя Франк-Каменцкий использовал численное интегрирование, предполагая, что явного решения нет, Поль Л. Шамбре предоставил точное решение в 1952 году.[12] Х. Лемке также предложил решение в несколько иной форме в 1913 г.[13] Здесь , тогда

Если преобразования и представлены

Общее решение . Но из условия симметрии в центре. Записываясь обратно в исходную переменную, уравнение читается так:

Но исходное уравнение, умноженное на является

Теперь вычитание двух последних уравнений друг из друга приводит к

Это уравнение легко решить, потому что оно включает только производные, поэтому позволяя преобразует уравнение

Это Дифференциальное уравнение Бернулли порядка , тип Уравнение Риккати. Решение

Интегрируя еще раз, мы имеем куда . Мы использовали уже одно граничное условие, осталось еще одно граничное условие, но с двумя константами . Оказывается и связаны друг с другом, что получается путем подстановки указанного выше решения в исходное уравнение, мы приходим к . Следовательно, решение

Теперь, если мы воспользуемся другим граничным условием , получаем уравнение для в качестве . Максимальное значение для которого решение возможно, когда , поэтому критический параметр Франка-Каменского равен . Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) в течение и для , система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией. Максимальная температура происходит в

Для каждого значения , имеем два значения поскольку многозначен. Максимальная критическая температура составляет .

Сферический сосуд

Для сферического сосуда нет явного решения, поэтому Франк-Каменецкий использовали численные методы для определения критического значения. Здесь , тогда

Если преобразования и , куда это максимальная температура, которая возникает при в силу симметрии вводятся

Вышеприведенное уравнение - не что иное, как Уравнение Эмдена – Чандрасекара,[14] который появляется в астрофизика описание изотермический газовая сфера. В отличие от плоского и цилиндрического корпуса сферический сосуд имеет бесконечное множество решений для колебаться вокруг точки ,[15] вместо двух решений, как показал Израиль Гельфанд.[16] Для объяснения взрывного поведения будет выбрана самая нижняя ветвь.

Численным решением установлено, что критический параметр Франка-Каменецкого равен . Система не имеет устойчивого состояния (или взрывается) в течение и для , система переходит в устойчивое состояние с очень медленной реакцией. Максимальная температура происходит в а максимальная критическая температура составляет .

Несимметричные геометрии

Для сосудов, которые не являются симметричными относительно центра (например, прямоугольный сосуд), проблема заключается в решении нелинейного уравнение в частных производных вместо нелинейного обыкновенное дифференциальное уравнение, которые в большинстве случаев могут быть решены только численными методами. Уравнение

с граничным условием на ограничивающих поверхностях.

Приложения

Поскольку модель предполагает однородную смесь, теория хорошо применима для изучения взрывоопасного поведения твердого топлива (самовозгорание биотоплива, органических материалов, мусора и т. Д.). Это также используется для конструирования взрывчатых веществ и взломщиков огня. Теория точно предсказала критические значения для жидкостей / твердых тел с низкой проводимостью и тонкостенных контейнеров с высокой проводимостью.[17]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Франк-Каменецкий, Дэвид А. «К распределению температуры в реакционном сосуде и стационарной теории теплового взрыва». Доклады Академии Наук СССР. Vol. 18. 1938.
  2. ^ Франк-Каменецкий Д.А. «Расчет пределов теплового взрыва». Acta. Физ.-хим СССР 10 (1939): 365.
  3. ^ Семенов Н. Н. «Расчет критических температур теплового взрыва». Z Phys Chem 48 (1928): 571.
  4. ^ Семенов Н. Н. «К теории процессов горения». Z. Phys. Chem 48 (1928): 571–582.
  5. ^ Франк-Каменецкий Давид Альбертович. Диффузия и теплообмен в химической кинетике. Издательство Принстонского университета, 2015.
  6. ^ Линан, Амабл и Форман Артур Уильямс. «Фундаментальные аспекты горения». (1993).
  7. ^ Уильямс, Форман А. "Теория горения". (1985).
  8. ^ Бакмастер, Джон Дэвид и Джеффри Стюарт Стивен Ладфорд. Теория ламинарного пламени. Издательство Кембриджского университета, 1982.
  9. ^ Бакмастер, Джон Д., изд. Математика горения. Общество промышленной и прикладной математики, 1985.
  10. ^ Зельдович, И.А., Баренблатт, Г.И., Либрович, В.Б., Махвиладзе, Г.М. (1985). Математическая теория горения и взрыва.
  11. ^ Льюис, Бернар и Гюнтер фон Эльбе. Возгорание, пламя и взрывы газов. Эльзевир, 2012.
  12. ^ Chambre, P. L. «О решении уравнения Пуассона-Больцмана в применении к теории тепловых взрывов». Журнал химической физики 20.11 (1952): 1795–1797.
  13. ^ Лемке, Х. (1913). Über die Differentialgleichungen, welche den Gleichgewichtszustand eines gasförmigem Himmelskörpers bestimmen, dessen Teile gegeneinander nach dem Newtonschen Gesetz gravitieren. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 142, 118–145.
  14. ^ Субраманян Чандрасекар. Введение в изучение звездного строения. Vol. 2. Курьерская корпорация, 1958 год.
  15. ^ Якобсен, Джон и Клаус Шмитт. «Проблема Лиувилля – Брату – Гельфанда для радиальных операторов». Журнал дифференциальных уравнений 184.1 (2002): 283–298.
  16. ^ Гельфанд И. М. (1963). Некоторые вопросы теории квазилинейных уравнений. Амер. Математика. Soc. Перевод, 29 (2), 295–381.
  17. ^ Зукас, Джонас А., Уильям Уолтерс и Уильям П. Уолтерс, ред. Взрывные эффекты и приложения. Springer Science & Business Media, 2002.

внешняя ссылка