Теория Литтлвуда – Пэли - Википедия - Littlewood–Paley theory

В гармонический анализ, область математики, Теория Литтлвуда – Пэли теоретическая основа, используемая для расширения определенных результатов о L² функции для L^п функции для 1 <п <∞. Обычно он используется вместо аргументов ортогональности, которые применяются только к L^п функционирует, когда п = 2. Одна реализация включает изучение функции путем ее разложения по функциям с локализованными частотами и использования метода Литтлвуда – Пэли. грамм-функция для сравнения с ее интегралом Пуассона. Случай с одной переменной был создан Дж. Э. Литтлвуд и Р. Пейли (1931, 1937, 1938 ) и развитый польскими математиками А. Зигмунд и Я. Марцинкевич в 1930-е годы с помощью теории сложных функций (Зигмунд 2002, главы XIV, XV). Э. М. Штейн позже распространил теорию на более высокие измерения, используя методы реальных переменных.

Диадическое разложение функции

Теория Литтлвуда – Пэли использует разложение функции ж в сумму функций ж_ρ с локализованными частотами. Есть несколько способов построить такое разложение; типичный метод выглядит следующим образом.

Если f (x) это функция на р, и ρ - измеримое множество (в частотном пространстве) с характеристическая функция ${ Displaystyle чи _ { rho} ( хи)}$ , тогда ж_ρ определяется через его преобразование Фурье

{ displaystyle { hat {f}} _ { rho}: = chi _ { rho} { hat {f}}}

.

Неофициально ж_ρ это часть ж чьи частоты лежат вρ.

Если Δ - это набор измеримых множеств, которые (с точностью до меры 0) не пересекаются и объединяются на действительной прямой, то функция с хорошим поведением ж можно записать в виде суммы функций ж_ρ за ρ ∈ Δ.

Когда Δ состоит из множеств вида

{ displaystyle rho = [- 2 ^ {k + 1}, - 2 ^ {k}] cup [2 ^ {k}, 2 ^ {k + 1}].}

за k целое число, это дает так называемое "диадическое разложение" ж : Σ_ρ ж_ρ.

Есть много вариантов этой конструкции; например, характеристическая функция множества, используемая в определении ж_ρ можно заменить более плавной функцией.

Ключевой оценкой теории Литтлвуда – Пэли является теорема Литтлвуда – Пэли, которая ограничивает размер функций ж_ρ с точки зрения размера ж. Существует множество версий этой теоремы, соответствующих различным способам разложения ж. Типичная оценка заключается в ограничении L^п норма (Σ_ρ |ж_ρ|²)^1/2 кратно L^п нормаж.

В более высоких измерениях эту конструкцию можно обобщить, заменив интервалы прямоугольниками со сторонами, параллельными осям координат. К сожалению, это довольно специальные наборы, которые ограничивают приложения более высокими размерами.

Литтлвуд – Пейли грамм функция

В грамм функция является нелинейным оператором на L^п(р^п), который можно использовать для управления L^п норма функции ж с точки зрения его Интеграл Пуассона.Интеграл Пуассона. ты(Икс,у) из ж определяется для у > 0 по

{ Displaystyle и (х, y) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} P_ {y} (t) f (x-t) , dt}

где Ядро Пуассона п дан кем-то

{ displaystyle P_ {y} (x) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 pi itx-2 pi | t | y} , dt = { frac { Gamma ((n + 1) / 2)} { pi ^ {(n + 1) / 2}}} { frac {y} {(| x | ^ {2} + y ^ {2}) ^ {(n + 1) / 2}}}.}

Литтлвуд – Пейли грамм функция грамм(ж) определяется

{ displaystyle g (f) (x) = left ( int _ {0} ^ { infty} | nabla u (x, y) | ^ {2} y , dy right) ^ {1 / 2}}

Основное свойство грамм в том, что он примерно сохраняет нормы. Точнее, при 1 <п <∞, отношение L^п нормы ж и грамм(ж) ограничена сверху и снизу фиксированными положительными константами, зависящими от п и п но не наж.

Приложения

Одним из первых применений теории Литтлвуда – Пэли было доказательство того, что если S_п являются частичными суммами ряда Фурье периодического L^п функция (п > 1) и п_j последовательность, удовлетворяющая п_j+1/п_j > q для некоторых фиксированных q > 1, то последовательность S_{п_j} сходится почти везде. Позже это было заменено Теорема Карлесона – Ханта показывая это S_п сам сходится почти везде.

Теорию Литтлвуда – Пэли также можно использовать для доказательства Теорема Марцинкевича о множителях.

Теория Литтлвуда – Пэли - Википедия - Littlewood–Paley theory

Содержание

Диадическое разложение функции

Литтлвуд – Пейли грамм функция

Приложения

Рекомендации