Пространство Лузина - Luzin space
В математика, а Пространство Лузина (или Пространство Лусина), названный в честь Н. Н. Лузин, является бесчисленный топологический Т1 Космос без изолированные точки в котором каждый нигде-плотный подмножество счетный. Есть много незначительных вариаций этого определения: T1 условие можно заменить на Т2 или T3, а некоторые авторы допускают счетное или даже произвольное количество изолированных точек.
Существование пространства Лузина не зависит от аксиом ZFC. Лузин (1914) показал, что гипотеза континуума следует, что пространство Лузина существует. Кунен (1977) показал, что предполагая Аксиома Мартина и отрицание гипотеза континуума, нет Хаусдорф Лузинские пространства.
В реальном анализе
В реальный анализ и описательная теория множеств, а Набор Лузина (или Набор Lusin), определяется как несчетное подмножество А из реалы такой, что каждое несчетное подмножество А не скудный; то есть второй Категория Бэра. Эквивалентно, А представляет собой бесчисленное множество вещественных чисел, которое соответствует каждой первой категории только в счетном количестве точек. Лузин доказал, что если гипотеза континуума верна, то каждое немощное множество имеет лузинское подмножество. Очевидные свойства множества Лузина заключаются в том, что оно должно быть немудрый (иначе набор сам по себе несчетный скудное подмножество ) и из измерять ноль, потому что каждый набор положительной меры содержит скудный набор, который также имеет положительную меру, и, следовательно, неисчислим. А слабо лузин набор представляет собой несчетное подмножество реального векторного пространства, такое что для любого несчетного подмножества множество направлений между различными элементами подмножества плотно в сфере направлений.
В двойственность меры-категории обеспечивает мера аналог лузинских множеств - множеств положительной внешней меры, каждое несчетное подмножество которых имеет положительную внешнюю меру. Эти наборы называются Наборы Серпинского, после Вацлав Серпинский. Множества Серпинского являются слабо лузинскими, но не лузинскими множествами.
Пример набора Лузина
Выберите коллекцию из 2ℵ0 скудные подмножества р так что каждое скудное подмножество содержится в одном из них. По гипотезе континуума их можно перечислить как Sα для счетных ординалов α. Для каждого счетного ординала β выберем действительное число Иксβ этого нет ни в одном из наборов Sα при α <β, что возможно, поскольку объединение этих множеств невелико, поэтому не все р. Тогда бесчисленное множество Икс всех этих реальных чисел Иксβ имеет только счетное количество элементов в каждом наборе Sα, то есть набор Лузина.
Более сложные варианты этой конструкции дают примеры множеств Лузина, которые являются подгруппами, подполями или действительно закрытые подполя реальных чисел.
использованная литература
- Архангельский, А. В. (1978), «СТРОЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ И КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ», Российские математические обзоры, 33 (6): 33–96, Дои:10.1070 / RM1978v033n06ABEH003884 Статья с упоминанием пространств Лузина
- Ефимов, Б.А. (2001) [1994], "Лузин космос", Энциклопедия математики, EMS Press
- Кунен, Кеннет (1977), "Пространства Лузина", Топология Труды, Т. I (Конференция Обернского университета, Оберн, штат Алабама, 1976), стр. 191–199, Г-Н 0450063
- Лусин, Н. Н. (1914), "Sur un problème de M. Baire", C. R. Acad. Sci. Париж, 158: 1258–1261
- Окстоби, Джон К. (1980), Мера и категория: обзор аналогий между топологическим пространством и пространством меры, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90508-1