Мазурский коллектор - Mazur manifold

В дифференциальная топология, раздел математики, Мазурский коллектор договорная, компактный, гладкая четырехмерная многообразие (с границей), который не диффеоморфный к стандарту 4 мяча. Край многообразия Мазура обязательно является гомология 3-сфера.

Часто термин Мазурский коллектор ограничивается специальным классом приведенного выше определения: 4-многообразиями, имеющими обрабатывать разложение содержит ровно три ручки: одну 0-ручку, одну 1-ручку и одну 2-ручку. Это эквивалентно тому, что многообразие должно иметь вид ${ Displaystyle S ^ {1} раз D ^ {3}}$ штуцер с двумя ручками. Наблюдение Мазура показывает, что двойной таких многообразий есть диффеоморфный к ${ displaystyle S ^ {4}}$ со стандартной гладкой структурой.

История

Барри Мазур^[1] и Валентин Поэнару^[2] открыли эти многообразия одновременно. Акбулут и Кирби показали, что Гомологические сферы Брискорна ${ Displaystyle Sigma (2,5,7)}$, ${ Displaystyle Sigma (3,4,5)}$ и ${ Displaystyle Sigma (2,3,13)}$ являются границами многообразий Мазура.^[3] Позднее эти результаты были обобщены на другие стягиваемые многообразия Кассоном, Харером и Стерном.^[4][5][6] Одно из многообразий Мазура также является примером Акбулут пробка которые можно использовать для построения экзотических 4-многообразий.^[7]

Многообразия Мазура использовались Финтушелем и Штерном.^[8] построить экзотические действия группы порядка 2 на 4-сфера.

Открытие Мазура было неожиданным по нескольким причинам:

• Каждая гладкая гомологическая сфера в размерности ${ displaystyle n geq 5}$ гомеоморфно краю компактного стягиваемого гладкого многообразия. Это следует из работы Кервера.^[9] и h-кобордизм теорема. Чуть сильнее всякая гладкая гомологическая 4-сфера диффеоморфна границе компактного стягиваемого гладкого 5-многообразия (также по работе Кервера). Но не всякая гомологическая 3-сфера диффеоморфна краю стягиваемого компактного гладкого 4-многообразия. Например, Сфера гомологии Пуанкаре не ограничивает такое 4-многообразие, поскольку Инвариант Рохлина создает препятствие.

• В Теорема о h-кобордизме означает, что, по крайней мере, в размерах ${ Displaystyle п geq 6}$ есть уникальный контрактный ${ displaystyle n}$-многообразие с односвязным краем, единственность которого с точностью до диффеоморфизма. Это многообразие - единичный шар ${ displaystyle D ^ {n}}$. Остается открытым вопрос, действительно ли ${ displaystyle D ^ {5}}$ допускает экзотическую гладкую структуру, но по теореме о h-кобордизме такая экзотическая гладкая структура, если она существует, должна ограничиваться экзотической гладкой структурой на ${ displaystyle S ^ {4}}$. Так или иначе ${ displaystyle S ^ {4}}$ допускает экзотическую гладкую структуру, эквивалентную другой открытой проблеме, гладкой Гипотеза Пуанкаре в размерности четыре. Так или иначе ${ displaystyle D ^ {4}}$ признает, что экзотическая гладкая структура - еще одна открытая проблема, тесно связанная с Проблема Шенфлиса в четвертом измерении.

Наблюдение Мазура

Позволять ${ displaystyle M}$ - многообразие Мазура, построенное как ${ Displaystyle S ^ {1} раз D ^ {3}}$ штуцер с двумя ручками. Вот набросок аргумента Мазура о том, что двойной такого многообразия Мазура является ${ displaystyle S ^ {4}}$. ${ Displaystyle M раз [0,1]}$ стягиваемое 5-многообразие, построенное как ${ Displaystyle S ^ {1} раз D ^ {4}}$ штуцер с двумя ручками. 2-ручку можно не завязать, так как присоединяющая карта представляет собой оснащенный узел в 4-многообразии ${ Displaystyle S ^ {1} раз S ^ {3}}$. Так ${ Displaystyle S ^ {1} раз D ^ {4}}$ объединение 2-ручки диффеоморфно ${ displaystyle D ^ {5}}$. Граница ${ displaystyle D ^ {5}}$ является ${ displaystyle S ^ {4}}$. Но граница ${ Displaystyle M раз [0,1]}$ это двойной из ${ displaystyle M}$.

Рекомендации

• Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и ссылки. Исправленное перепечатание оригинала 1976 года., Серия лекций по математике, 7, Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., стр. 355–357, глава 11E, ISBN  0-914098-16-0, МИСТЕР  1277811