Проблема Шенфлиса - Schoenflies problem

В математика, то Проблема Шенфлиса или же Теорема Шенфлиса, из геометрическая топология это обострение Теорема Жордана к Артур Шенфлис. За Иордания кривые в самолет его часто называют Теорема Жордана – Шенфлиса.

Оригинальная рецептура

Исходная формулировка проблемы Шенфлиса гласит, что не только каждый простая замкнутая кривая в самолет разделите самолет на две области, одну («внутреннюю») ограниченный а другой («внешний») неограничен; но также, что эти два региона гомеоморфный внутри и снаружи стандарта круг в плоскости.

Альтернативное утверждение: если ${ Displaystyle С подмножество mathbb {R} ^ {2}}$ простая замкнутая кривая, то существует гомеоморфизм ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R} ^ {2}}$ такой, что ${ displaystyle f (C)}$ это единица круг в плоскости. Элементарные доказательства можно найти в Ньюман (1939), Кэрнс (1951), Моисей (1977) и Томассен (1992). Сначала результат может быть доказан для многоугольников, когда гомеоморфизм можно рассматривать как кусочно-линейный и тождественное отображение на некотором компакте; случай непрерывной кривой затем выводится путем аппроксимации многоугольниками. Теорема также является непосредственным следствием Теорема Каратеодори о продолжении за конформные отображения, как обсуждалось в Поммеренке (1992 г., п. 25).

Если кривая гладкая, то гомеоморфизм можно выбрать как диффеоморфизм. Доказательства в этом случае опираются на методы из дифференциальная топология. Хотя прямые доказательства возможны (начиная, например, с многоугольного случая), существование диффеоморфизма также можно вывести с помощью гладкого Теорема римана отображения для внутренней и внешней части кривой в сочетании с Александр трюк для диффеоморфизмов окружности и результат о гладком изотопия из дифференциальной топологии.^[1]

Такая теорема верна только в двух измерениях. В трех измерениях есть контрпримеры Такие как Рогатый шар Александра. Хотя они разделяют пространство на две области, эти области настолько скручены и связаны узлами, что не гомеоморфны внутри и снаружи нормальной сферы.

Доказательства теоремы Жордана – Шенфлиса.

Для гладких или многоугольных кривых Теорема Жордана можно доказать несложным способом. Действительно, кривая имеет трубчатый район, определяемая в гладком случае полем единичных нормальных векторов к кривой или в многоугольном случае точками на расстоянии менее ε от кривой. в окрестности дифференцируемой точки на кривой происходит изменение координат в котором кривая становится диаметром открытого диска. Взяв точку не на кривой, прямая линия, направленная на кривую, начинающуюся в этой точке, в конечном итоге встретится с трубчатой окрестностью; путь можно продолжить рядом с кривой, пока она не встретится с диском. Он встретит его с одной или с другой стороны. Это доказывает, что дополнение к кривой имеет не более двух компонент связности. С другой стороны, используя Интегральная формула Коши для номер намотки видно, что число витков постоянно на связанных компонентах дополнения кривой, равно нулю вблизи бесконечности и увеличивается на 1 при пересечении кривой. Следовательно, кривая имеет ровно две компоненты: внутреннюю и неограниченную. То же самое рассуждение работает для кусочно дифференцируемой жордановой кривой.^[2]

Многоугольная кривая

Для простой замкнутой ломаной на плоскости кусочно-линейная теорема Жордана – Шенфлиса утверждает, что существует кусочно-линейный гомеоморфизм плоскости с компактной опорой, переносящий многоугольник на треугольник и переносящий внутренность и внешность одного на внутренность и внешность другого.^[3]

Внутренняя часть многоугольника может быть триангулирована маленькими треугольниками, так что края многоугольника образуют ребра некоторых маленьких треугольников. Кусочно-линейные гомеоморфизмы могут быть составлены из специальных гомеоморфизмов, полученных путем удаления ромба с плоскости и взятия кусочно-аффинного отображения, фиксируя края ромба, но перемещая одну диагональ в V-образную форму. Композиции гомеоморфизмов такого типа порождают кусочно линейные гомеоморфизмы компактного носителя; они фиксируют внешнюю сторону многоугольника и действуют аффинным образом на триангуляцию внутренней части. Простой индуктивный аргумент показывает, что всегда можно удалить свободный треугольник - тот, для которого пересечение с границей представляет собой связное множество, состоящее из одного или двух ребер, оставляя простой замкнутый жорданов многоугольник. Специальные гомеоморфизмы, описанные выше или их обратные, обеспечивают кусочно-линейные гомеоморфизмы, которые переносят внутренность большего многоугольника на многоугольник с удаленным свободным треугольником. Итерируя этот процесс, следует, что существует кусочно линейный гомеоморфизм компактного носителя, переводящий исходный многоугольник в треугольник.^[4]

Поскольку гомеоморфизм получается составлением конечного числа гомеоморфизмов плоскости компактного носителя, отсюда следует, что кусочно-линейный гомеоморфизм в формулировке кусочно-линейной теоремы Жордана-Шенфлиса имеет компактный носитель.

Как следствие, отсюда следует, что любой гомеоморфизм между простыми замкнутыми многоугольными кривыми продолжается до гомеоморфизма между их внутренностями.^[5] Для каждого многоугольника существует гомеоморфизм данного треугольника на замыкание их внутренней части. Три гомеоморфизма дают единственный гомеоморфизм границы треугольника. Посредством Александр трюк этот гомеоморфизм продолжается до гомеоморфизма замыкания внутренней части треугольника. Обращая этот процесс вспять, этот гомеоморфизм дает гомеоморфизм между замыканиями внутренностей многоугольных кривых.

Непрерывная кривая

Теорема Жордана-Шенфлиса для непрерывных кривых может быть доказана с помощью Теорема Каратеодори на конформное отображение. В нем говорится, что Отображение Римана между внутренней частью простой жордановой кривой и открытым единичным кругом непрерывно продолжается до гомеоморфизма между их замыканиями, гомеоморфно отображая жордановую кривую на единичную окружность.^[6] Чтобы доказать теорему, теорему Каратеодори можно применить к двум областям на Сфера Римана определяется кривой Жордана. Это приведет к гомеоморфизму между их замыканиями и замкнутыми дисками |z| ≤ 1 и |z| ≥ 1. Гомеоморфизмы от жордановой кривой до окружности будут отличаться гомеоморфизмом окружности, который можно продолжить до единичного круга (или его дополнения) с помощью Александр трюк. Композиция с этим гомеоморфизмом даст пару гомеоморфизмов, которые совпадают на жордановой кривой и, следовательно, определяют гомеоморфизм сферы Римана, переносящей жордановую кривую на единичную окружность.

Непрерывный случай также может быть выведен из многоугольного случая, аппроксимируя непрерывную кривую многоугольником.^[7] Теорема о кривой Жордана впервые была получена этим методом. Жорданова кривая задается непрерывной функцией на единичной окружности. Он и обратная функция от его изображения обратно к единичному кругу равны равномерно непрерывный. Таким образом, разделив круг на достаточно маленькие интервалы, на кривой будут такие точки, что отрезки линии, соединяющие соседние точки, лежат близко к кривой, скажем, на ε. Вместе эти отрезки образуют многоугольную кривую. Если он имеет самопересечения, они также должны образовывать многоугольные петли. Стирание этих петель приводит к получению многоугольной кривой без самопересечений, которая все еще находится близко к кривой; некоторые из его вершин могут не лежать на кривой, но все они лежат в окрестности кривой. Полигональная кривая делит плоскость на две области, одну ограниченную область U и одна неограниченная область V. Обе U и V ∪ ∞ - непрерывные образы замкнутого единичного круга. Так как исходная кривая содержится в небольшой окрестности многоугольной кривой, объединение изображений немного меньших концентрических открытых дисков полностью пропускает исходную кривую, а их объединение исключает небольшую окрестность кривой. Одно из изображений представляет собой ограниченное открытое множество, состоящее из точек, вокруг которых кривая имеет номер намотки один; другой - неограниченное открытое множество, состоящее из точек с нулевым числом витков. Повторение для последовательности значений ε, стремящихся к 0, приводит к объединению открытых линейно связанных ограниченных множеств точек обмотки номер один и объединению открытых линейно связанных неограниченных множеств с номером обмотки ноль. По построению эти два непересекающихся открытых линейно-связанных множества заполняют дополнение кривой на плоскости.^[8]

Гексагональная мозаика плоскости: если встречаются 2 шестиугольника, у них должно быть общее ребро

Стандартная облицовка плоскости кирпичной кладкой

Учитывая теорему Жордана о кривой, теорему Жордана-Шенфлиса можно доказать следующим образом.^[9]

Первый шаг - показать, что плотный набор точек на кривой доступный изнутри кривой, то есть они находятся в конце отрезка, полностью лежащего внутри кривой. Фактически, данная точка на кривой произвольно близка к некоторой точке внутри, и есть наименьший замкнутый диск вокруг этой точки, который пересекает кривую только на ее границе; эти граничные точки близки к исходной точке на кривой и по конструкции доступны.
Второй шаг - доказать, что для конечного числа доступных точек А_я на кривой, соединенной с отрезками линии А_яB_я внутри, есть непересекающиеся многоугольные кривые внутри с вершинами на каждом из отрезков, так что их расстояние до исходной кривой сколь угодно мало. Это требует мозаика плоскости равномерно небольшими плитками, так что если две плитки встречаются, у них есть общая сторона или сегмент стороны: примеры являются стандартными гексагональная мозаика; или стандарт кирпичная кладка облицовка прямоугольниками или квадратами с обычными или натяжными связями. Достаточно построить ломаную дорогу так, чтобы расстояние от нее до жордановой кривой было сколь угодно малым. Сориентируйте мозаику так, чтобы ни одна сторона плитки не была параллельна какой-либо А_яB_я. Размер плитки можно взять сколь угодно маленьким. Возьмем объединение всех замкнутых плиток, содержащих хотя бы одну точку жордановой кривой. Его граница состоит из непересекающихся ломаных. Если размер плиток достаточно мал, конечные точки B_я будет лежать внутри ровно одной из многоугольных граничных кривых. Расстояние от нее до жордановой кривой меньше двух диаметров плиток, поэтому оно произвольно мало.
Третий шаг - доказать, что любой гомеоморфизм ж между кривой и данным треугольником может быть расширен до гомеоморфизма между замыканиями их внутренностей. Фактически возьмем последовательность ε₁, ε₂, ε₃, ... уменьшается до нуля. Выберите конечное количество точек А_я на жордановой кривой Γ с последовательными точками меньше ε₁ Кроме. Строим вторую ступеньку из плиток диаметром меньше ε₁ и возьми C_я быть точками на ломаной Γ₁ пересекающийся А_яB_я. Взять очки ж(А_я) на треугольнике. Зафиксируем начало в треугольнике Δ и масштабируем треугольник, чтобы получить меньшее Δ.₁ на расстоянии меньше ε₁ из исходного треугольника. Позволять D_я быть точками на пересечении радиуса через ж(А_я) и меньший треугольник. Существует кусочно линейный гомеоморфизм F₁ ломаной на меньший треугольник, несущий C_я на D_я. По теореме Жордана-Шенфлиса он продолжается до гомеоморфизма F₁ между закрытием их интерьеров. Теперь проделаем то же самое для ε₂ с новым набором точек на жордановой кривой. Это создаст второй многоугольный путь Γ₂ между Γ₁ и Γ. Также имеется второй треугольник Δ₂ между Δ₁ и Δ. Отрезки доступных точек на Γ делят многоугольную область между Γ₂ и Γ₁ в союз полигональных регионов; аналогично для радиусов для соответствующих точек на Δ делит область между Δ₂ и Δ₁ в объединение полигональных регионов. Гомеоморфизм F₁ может быть расширен до гомеоморфизмов между различными многоугольниками, согласовывая общие ребра (отрезки на отрезках или радиусах). По многоугольной теореме Жордана-Шенфлиса каждый из этих гомеоморфизмов продолжается во внутреннюю часть многоугольника. Вместе они дают гомеоморфизм F₂ замыкания внутренности Γ₂ на замыкание внутренности Δ₂; F₂ расширяет F₁. Продолжая таким образом, мы получим многоугольные кривые Γ_п и треугольники Δ_п с гомеоморфизмом F_п между закрытием их интерьеров; F_п расширяет F_{п – 1}. Области внутри Γ_п возрастают в область внутри Γ; а треугольники Δ_п увеличиваются до Δ. Гомеоморфизмы F_п соединить вместе, чтобы получить гомеоморфизм F из внутренней части Γ на внутренность Δ. По конструкции он имеет предел ж на граничных кривых Γ и Δ. Следовательно F - требуемый гомеоморфизм.
Четвертый шаг - доказать, что любой гомеоморфизм между жордановыми кривыми может быть расширен до гомеоморфизма между замыканиями их внутренностей. По результату третьего шага достаточно показать, что любой гомеоморфизм границы треугольника продолжается до гомеоморфизма замыкания его внутренности. Это следствие уловки Александра. (Уловка Александера также устанавливает гомеоморфизм между твердым треугольником и замкнутым кругом: гомеоморфизм - это просто естественное радиальное расширение проекции треугольника на его описанную окружность относительно его центра описанной окружности.)
Последний шаг - доказать, что для данных двух жордановых кривых существует гомеоморфизм плоскости компактного носителя, переносящей одну кривую на другую. Фактически, каждая жорданова кривая лежит внутри одного и того же большого круга, а внутри каждого большого круга есть радиусы, соединяющие две диагонально противоположные точки с кривой. Каждая конфигурация делит плоскость на внешнюю часть большого круга, внутреннюю часть жордановой кривой и область между ними на две ограниченные области, ограниченные жордановыми кривыми (состоящими из двух радиусов, полукруга и одной из половин жордановой кривой). изгиб). Возьмем тождественный гомеоморфизм большого круга; кусочно-линейные гомеоморфизмы между двумя парами радиусов; и гомеоморфизм между двумя парами половин жордановых кривых, заданный линейной репараметризацией. Эти 4 гомеоморфизма соединяются вместе на граничных дугах, чтобы получить гомеоморфизм плоскости, заданной тождеством на большом круге и переносящим одну жордановую кривую на другую.

Плавная кривая

Доказательства в гладком случае зависят от нахождения диффеоморфизма между внутренним / внешним видом кривой и замкнутым единичным кругом (или его дополнением в расширенной плоскости). Это можно решить, например, используя сглаживание Теорема римана отображения, для которых доступен ряд прямых методов, например, через Задача Дирихле на кривой или Ядра Бергмана.^[10] (Такие диффеоморфизмы будут голоморфными на внутренней и внешней стороне кривой; более общие диффеоморфизмы могут быть легче построены с использованием векторных полей и потоков.) Если рассматривать гладкую кривую как лежащую внутри расширенной плоскости или 2-сферы, эти аналитические методы дают гладкую отображает до границы между замыканием внутренней / внешней гладкой кривой и замыканием единичной окружности. Два отождествления гладкой кривой и единичной окружности будут отличаться диффеоморфизмом единичной окружности. С другой стороны, диффеоморфизм $ж$ единичной окружности продолжается до диффеоморфизма $F$ единичного диска Расширение Александра:

{ Displaystyle Displaystyle {F (ре ^ {я тета}) = г ехр [я пси (г) г ( тета) + я (1- пси (г)) тета],}}

куда $ψ$ является гладкой функцией со значениями в [0,1], равными 0 около 0 и 1 около 1, и $ж (е я θ) = е ig (θ)$ , с $грамм (θ + 2π) = грамм (θ) + 2π$ . Составление одного из диффеоморфизмов с расширением Александера позволяет склеить два диффеоморфизма вместе, чтобы получить гомеоморфизм 2-сферы, который ограничивается диффеоморфизмом на замкнутом единичном круге и замыканиями его дополнения, которое он переносит на внутреннюю и внешнюю части. исходной гладкой кривой. Посредством теорема изотопии в дифференциальной топологии,^[11] гомеоморфизм может быть преобразован в диффеоморфизм на всей 2-сфере, не изменяя его на единичной окружности. Затем этот диффеоморфизм обеспечивает гладкое решение проблемы Шенфлиса.

Теорема Джордана-Шенфлиса может быть получена с помощью дифференциальная топология. Фактически это непосредственное следствие классификации с точностью до диффеоморфизма гладких ориентированных двумерных многообразий с краем, как описано в Хирш (1994). Действительно, гладкая кривая делит 2-сферу на две части. По классификации каждое из них диффеоморфно единичному кругу и - с учетом теоремы об изотопии - склеивается диффеоморфизмом границы. По уловке Александера такой диффеоморфизм распространяется на сам диск. Таким образом, существует диффеоморфизм 2-сферы, переносящий гладкую кривую на единичную окружность.

С другой стороны, диффеоморфизм также может быть построен непосредственно с использованием теоремы Жордана-Шенфлиса для многоугольников и элементарных методов из дифференциальной топологии, а именно потоков, определяемых векторными полями.^[12] Когда жорданова кривая является гладкой (параметризованной длиной дуги), единичные нормальные векторы дают ненулевое векторное поле Икс₀ в трубчатый район U₀ кривой. Возьмем многоугольную кривую внутри кривой вблизи границы и поперек кривой (в вершинах векторное поле должно находиться строго в пределах угла, образованного краями). По кусочно-линейной теореме Жордана – Шенфлиса существует кусочно-линейный гомеоморфизм, аффинный на подходящей триангуляции внутренней части многоугольника, переводящий многоугольник в треугольник. Возьмите внутреннюю точку п в одном из маленьких треугольников триангуляции. Это соответствует точке Q в треугольнике изображения. На треугольнике изображения есть радиальное векторное поле, состоящее из прямых линий, указывающих в сторону Q. Это дает серию линий в маленьких треугольниках, составляющих многоугольник. Каждый определяет векторное поле Икс_я по соседству U_я замыкания треугольника. Каждое векторное поле поперечно сторонам при условии, что Q выбирается в «общем положении» так, чтобы он не коллинеарен ни одному из конечного числа ребер в триангуляции. Переводя при необходимости, можно предположить, что п и Q находятся в нуле. На треугольнике, содержащем п векторное поле можно принять за стандартное радиальное векторное поле. Точно так же ту же процедуру можно применить к внешней стороне гладкой кривой после применения преобразования Мёбиуса, чтобы отобразить ее в конечную часть плоскости и ∞ в 0. В этом случае окрестности U_я треугольников имеют отрицательные индексы. Возьмите векторные поля Икс_я со знаком минус, направленным от бесконечно удаленной точки. Вместе U₀ и U_яс я ≠ 0 образуют открытую крышку 2-сферы. Возьмите гладкую разделение единства ψ_я подчиняться обложке U_я и установить

{ displaystyle displaystyle {X = sum psi _ {i} cdot X_ {i}.}}

Икс является гладким векторным полем на двух сферах, исчезающим только в точках 0 и ∞. Он имеет индекс 1 в 0 и -1 в ∞. Вблизи 0 векторное поле равно радиальному векторному полю, направленному в сторону 0. Если α_т гладкий поток, определяемый Икс, точка 0 является точка притяжения и ∞ точка отталкивания. В качестве т стремится к + ∞, поток отправляет указывает на 0; в то время как в т стремится к –∞ точки отправляются на ∞. Замена Икс к ж⋅Икс с ж гладкая положительная функция, изменяет параметризацию интегральные кривые из Икс, но не сами интегральные кривые. Для соответствующего выбора ж равный 1 вне небольшого кольцевого пространства около 0, интегральные кривые, начинающиеся в точках плавной кривой, будут одновременно достигать меньшего круга, ограничивающего кольцевое пространство s. Диффеоморфизм α_s поэтому переносит плавную кривую на этот маленький круг. Масштабирующее преобразование, фиксирующее 0 и ∞, затем переносит маленький кружок на единичный круг. Составление этих диффеоморфизмов дает диффеоморфизм, переносящий гладкую кривую на единичную окружность.

Обобщения

Существует многомерное обобщение благодаря Мортон Браун (1960 ) и независимо Барри Мазур (1959 ) с Морс (1960), который также называют обобщенным Теорема Шенфлиса. В нем говорится, что если (п - 1) -мерный сфера S встроен в п-мерная сфера S^п в локально квартира (т.е.вложение продолжается до утолщенной сферы), то пара (S^п, S) гомеоморфна паре (S^п, S^п−1), куда S^п−1 это экватор п-сфера. Браун и Мазур получили Премия Веблена за их вклад. Доказательства Брауна и Мазура считаются «элементарными» и используют индуктивные аргументы.

Проблема Шенфлиса может быть поставлена в категориях, отличных от топологически локально плоской категории, т. Е. Выполняет гладко (кусочно-линейно) вложенную (п - 1) -сфера в п-сфера, ограничивающая гладкую (кусочно-линейную) п-мяч? За п = 4, проблема остается открытой для обеих категорий. Видеть Мазурский коллектор. За п ≥ 5 вопрос в гладкой категории имеет положительный ответ и следует из h-кобордизм теорема.

Примечания

^
Видеть:
^ Каток и Клименхага 2008
^
Видеть:
- Моис 1977
- Бинг 1983
^ Моис 1977, стр. 26–29
^ Бинг 1983, п. 29
^
Видеть:
^
Видеть:
- Моис 1977
- Бинг 1983
^
Видеть:
- Бинг 1983
- Каток и Клименхага 2008, Лекция 36
^ Bing, стр. 29–32
^
Видеть:
^
Видеть:
- Хирш 1994, п. 182, теорема 1.9
- Шастри 2011, п. 173, теорема 6.4.3
^
Видеть: