Проблема среднего значения - Mean value problem

В математике проблема среднего значения был поставлен Стивен Смейл в 1981 г.^[1] Эта проблема остается открытой в целом. Задача спрашивает:

Для данного комплекса многочлен ${ displaystyle f}$ из степень ${ displaystyle d geq 2}$^[2]А и комплексное число ${ displaystyle z}$, Есть ли критическая точка ${ displaystyle c}$ из ${ displaystyle f}$ (т.е. ${ displaystyle f '(c) = 0}$) такой, что

${ displaystyle left | { frac {f (z) -f (c)} {zc}} right | leq K | f '(z) | { text {for}} K = 1 { text {?}}}$

Это было доказано для ${ displaystyle K = 4}$.^[1] Для полинома степени ${ displaystyle d}$ постоянная ${ displaystyle K}$ должно быть как минимум ${ displaystyle { frac {d-1} {d}}}$ из примера ${ Displaystyle е (г) = z ^ {d} -d cdot z}$, поэтому нет границ лучше, чем ${ displaystyle K = 1}$ может существовать. Джеральд Шмидер опубликовал статью в 2003 году, в которой утверждает, что доказал теорему для этой оптимальной границы ${ Displaystyle К = { гидроразрыва {d-1} {d}}}$. ^[3]

Частичные результаты

Как известно, эта гипотеза верна в частных случаях; для других случаев привязка ${ displaystyle K}$ может быть улучшено в зависимости от степени ${ displaystyle d}$, хотя без абсолютной границы ${ displaystyle K <4}$ известно, что справедливо для всех ${ displaystyle d}$.

В 1989 году Тишлер показал, что гипотеза верна для оптимальной оценки ${ Displaystyle К = { гидроразрыва {d-1} {d}}}$ если ${ displaystyle f}$ имеет только настоящий корни, или если все корни ${ displaystyle f}$ имеют то же самое норма.^[4][5] В 2007 году Conte et al. доказал, что ${ Displaystyle К leq 4 { гидроразрыва {d-1} {d + 1}}}$,^[2] немного улучшая границу ${ displaystyle K leq 4}$ для фиксированного ${ displaystyle d}$. В том же году Крейн показал, что ${ displaystyle K <4 - { frac {2.263} { sqrt {d}}}}$ за ${ displaystyle d geq 8}$.^[6]

Учитывая обратное неравенство, Дубинин и Сугава доказали, что (при тех же условиях, что и выше) существует критическая точка ${ displaystyle zeta}$ такой, что ${ displaystyle left | { frac {f (z) -f ( zeta)} {z- zeta}} right | geq { frac {| f '(z) |} {n4 ^ {n }}}}$.^[7] Проблема оптимизации этой нижней границы известна как проблема двойного среднего значения.^[8]

Смотрите также

Примечания

А.^ Ограничение на степень используется, но не указано явно в Smale (1981); это сделано явным образом, например, в Conte (2007). Ограничение необходимо. Без него гипотеза была бы неверной: многочлен f (z) = z не имеет критических точек.

Рекомендации