Метаплектическая структура - Википедия - Metaplectic structure

В дифференциальная геометрия, а метаплектическая структура это симплектический аналог спиновая структура на ориентируемый Римановы многообразия. Метаплектическая структура на симплектическое многообразие позволяет определить симплектическое спинорное расслоение, какой Гильбертово пространство связка, связанная с метаплектической структурой через метаплектическое представление, что дает начало понятию симплектическое спинорное поле в дифференциальной геометрии.

Симплектические спиновые структуры имеют широкое применение в математическая физика, в частности квантовая теория поля где они являются важным ингредиентом в установлении идеи, что симплектическая спиновая геометрия и симплектические операторы Дирака могут дать ценные инструменты в симплектической геометрии и симплектической топологии. Они также представляют чисто математический интерес в дифференциальная геометрия, алгебраическая топология, и K теория. Они составляют основу симплектической спиновой геометрии.

Формальное определение

А метаплектическая структура ^[1] на симплектическое многообразие ${ Displaystyle (М, omega)}$ является эквивариантный лифт расслоение симплектических реперов ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} двоеточие { mathbf {R}} to M ,}$ относительно двойного покрытия ${ displaystyle rho двоеточие { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}) to { mathrm {Sp}} (n, { mathbb {R}}). ,}$ Другими словами, пара ${ displaystyle ({ mathbf {P}}, F _ { mathbf {P}})}$ это метаплектическая структура на главном расслоении ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} двоеточие { mathbf {R}} to M ,}$ когда

а)

{ displaystyle pi _ { mathbf {P}} двоеточие { mathbf {P}} to M ,}

является основным

{ Displaystyle { mathrm {Mp}} (п, { mathbb {R}})}

- связать

{ displaystyle M}

,

б)

{ Displaystyle F _ { mathbf {P}} двоеточие { mathbf {P}} to { mathbf {R}} ,}

является эквивариантный

{ displaystyle 2}

-складывать карта покрытия такой, что

{ displaystyle pi _ { mathbf {R}} circ F _ { mathbf {P}} = pi _ { mathbf {P}}}

и

{ Displaystyle F _ { mathbf {P}} ({ mathbf {p}} q) = F _ { mathbf {P}} ({ mathbf {p}}) rho (q)}

для всех

{ displaystyle { mathbf {p}} in { mathbf {P}}}

и

{ displaystyle q in { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}).}

Основной комплект ${ displaystyle pi _ { mathbf {P}} двоеточие { mathbf {P}} to M ,}$ также называется пучком метаплектические рамки над ${ displaystyle M}$ .

Две метаплектические структуры ${ displaystyle ({ mathbf {P} _ {1}}, F _ { mathbf {P} _ {1}})}$ и ${ displaystyle ({ mathbf {P} _ {2}}, F _ { mathbf {P} _ {2}})}$ на том же симплектическое многообразие ${ Displaystyle (М, omega)}$ называются эквивалент если существует ${ Displaystyle { mathrm {Mp}} (п, { mathbb {R}})}$ -эквивариантное отображение ${ displaystyle f двоеточие { mathbf {P} _ {1}} to { mathbf {P} _ {2}}}$ такой, что

{ Displaystyle F _ { mathbf {P} _ {2}} circ f = F _ { mathbf {P} _ {1}}}

и

{ Displaystyle е ({ mathbf {p}} q) = f ({ mathbf {p}}) q}

для всех

{ displaystyle { mathbf {p}} in { mathbf {P} _ {1}}}

и

{ displaystyle q in { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}).}

Конечно, в этом случае ${ displaystyle F _ { mathbf {P} _ {1}}}$ и ${ displaystyle F _ { mathbf {P} _ {2}}}$ - два эквивалентных двойных накрытия симплектического репера ${ Displaystyle { mathrm {Sp}} (п, { mathbb {R}})}$ -пучок ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} двоеточие { mathbf {R}} to M ,}$ данного симплектического многообразия ${ Displaystyle (М, omega)}$ .

Препятствие

Поскольку каждый симплектическое многообразие ${ displaystyle M}$ обязательно имеет четное измерение и ориентируемый, можно доказать, что топологические препятствие к существованию метаплектические структуры точно так же, как в римановой геометрия вращения.^[2] Другими словами, симплектическое многообразие ${ Displaystyle (М, omega)}$ признает метаплектические структуры если и только если второй Класс Штифеля-Уитни ${ displaystyle w_ {2} (M) in H ^ {2} (M, { mathbb {Z} _ {2}})}$ из ${ displaystyle M}$ исчезает. Фактически, по модулю ${ displaystyle _ {2}}$ сокращение первого Черн класс ${ displaystyle c_ {1} (M) in H ^ {2} (M, { mathbb {Z}})}$ это второй Класс Штифеля-Уитни ${ displaystyle w_ {2} (М)}$ . Следовательно, ${ Displaystyle (М, omega)}$ допускает метаплектические структуры тогда и только тогда, когда ${ displaystyle c_ {1} (М)}$ четно, т. е. тогда и только тогда, когда ${ displaystyle w_ {2} (М)}$ равно нулю.

Если это так, то классы изоморфности метаплектические структуры на ${ Displaystyle (М, omega)}$ классифицируются первыми группа когомологий ${ Displaystyle Н ^ {1} (М, { mathbb {Z} _ {2}})}$ из ${ displaystyle M}$ с ${ displaystyle { mathbb {Z} _ {2}}}$ -коэффициенты.

Как многообразие ${ displaystyle M}$ предполагается ориентированным, первый Класс Штифеля-Уитни ${ displaystyle w_ {1} (M) in H ^ {1} (M, { mathbb {Z} _ {2}})}$ из ${ displaystyle M}$ тоже пропадает.

Примеры

Многообразия, допускающие метаплектическую структуру

Фазовые пространства ${ displaystyle (T ^ { ast} N, theta) ,,}$ ${ displaystyle N}$ любое ориентируемое многообразие.
Комплексные проективные пространства ${ Displaystyle { mathbb {P}} ^ {2k + 1} { mathbb {C}} ,,}$ ${ Displaystyle , к ин { mathbb {N}} _ {0} ,.}$ С ${ Displaystyle { mathbb {P}} ^ {2k + 1} { mathbb {C}} ,}$ односвязна, такая структура должна быть уникальной.
Грассманиан ${ Displaystyle Gr (2,4) ,,}$ и Т. Д.

Смотрите также

Примечания

^ Хаберманн, Катарина; Хаберманн, Лутц (2006), Введение в симплектические операторы Дирака, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33420-0 стр. 35
^ М. Форгер, Х. Гесс (1979). «Универсальные метаплектические структуры и геометрическое квантование». Commun. Математика. Phys. 64: 269–278. Дои:10.1007 / bf01221734.