Метрическое измерение (теория графов) - Metric dimension (graph theory)
В теория графов, то метрический параметр графа грамм минимальная мощность подмножества S таких вершин, что все остальные вершины однозначно определяются их расстояниями до вершин в S. Нахождение метрического измерения графа - это NP-жесткий проблема; версия решения, определяющая, меньше ли параметр показателя заданного значения, НП-полный.
Подробное определение
Для упорядоченного подмножества вершин и вершины v в связном графе грамм, представление v относительно W заказанный kпара , куда d(Икс,у) представляет собой расстояние между вершинами Икс и у. Набор W является разрешающим набором (или установочным набором) для грамм если каждые две вершины грамм имеют различные представления. Метрический размер грамм - минимальная мощность разрешающего множества для грамм. Разрешающее множество, содержащее минимальное количество вершин, называется базисом (или эталонным набором) для грамм. Разрешающие множества для графов были введены независимо Слейтер (1975) и Харари и Мелтер (1976), в то время как концепции разрешающего множества и метрической размерности были определены гораздо раньше в более общем контексте метрических пространств Блюменталь в его монографии Теория и приложения дистанционной геометрии. Графы являются частными примерами метрических пространств с их внутренней метрикой путей.
Деревья
Слейтер (1975) (смотрите также Харари и Мелтер (1976) и Хуллер, Рагхавачари и Розенфельд (1996) ) дает следующую простую характеристику метрической размерности дерево. Если дерево представляет собой путь, его метрическое измерение равно единице. В противном случае пусть L обозначают набор вершин степени один в дереве (обычно называемые листьями, хотя Слейтер использует это слово по-другому). Позволять K - множество вершин, степень которых больше двух, и которые соединены путями с вершинами степени два с одним или несколькими листами. Тогда метрическая размерность |L| − |K|, Основу этой мощности можно составить, удалив из L один из листьев, связанных с каждой вершиной в K. Тот же алгоритм действителен для линейного графа дерева, что доказано Фэн, Сюй и Ван (2013) (и, следовательно, любое дерево и его линейный график имеют одинаковую метрическую размерность).
Характеристики
В Chartrand et al. (2000), доказано, что:
- Метрическое измерение графика грамм равно 1 тогда и только тогда, когда грамм это путь.
- Метрический размер п-вершинный граф п − 1 если и только если это полный график.
- Метрический размер п-вершинный граф п − 2 тогда и только тогда, когда граф является полный двудольный граф Ks, т, а разделенный график , или же .
Связь между порядком, метрическим размером и диаметром
Хуллер, Рагхавачари и Розенфельд (1996) доказать неравенство для любого п-вершинный граф с диаметр D и метрическая размерность β. Эти границы вытекают из того факта, что каждая вершина, не входящая в разрешающий набор, однозначно определяется вектором расстояний длины β, где каждая запись является целым числом от 1 до D (есть именно такие векторы). Однако оценка достигается только при или же ; более точная граница доказано Эрнандо и др. (2010).
Для определенных классов графов могут выполняться меньшие границы. Например, Beaudou et al. (2018) доказал, что для деревьев (граница жесткая для четных значений D), и оценка вида за внешнепланарные графы. Те же авторы доказали, что для графиков без полный график порядка т как незначительный а также дал оценки для хордовые графы и графы ограниченных ширина дерева. Авторы Foucaud et al. (2017a) доказанные оценки вида за интервальные графики и графы перестановок, а границы вида за графики единичных интервалов, двудольные графы перестановок и кографы.
Вычислительная сложность
Сложность решения
Решение о том, является ли метрическая размерность графа не более чем заданным целым числом, является NP-полным (Гэри и Джонсон 1979 ). Он остается NP-полным для ограниченной степени планарные графы (Díaz et al. 2012 г. ), разделить графики, двудольные графы и их дополняет, линейные графики двудольных графов (Эпштейн, Левин и Вегингер 2012 ), графы единичного диска (Хоффманн и Ванке 2012 ), интервальные графики диаметром 2 и графы перестановок диаметром 2 (Foucaud et al. 2017b ).
Для любой фиксированной постоянной k, графики измерения показателя не более k можно узнать в полиномиальное время, протестировав все возможные k-набор вершин, но этот алгоритм не управляемый с фиксированными параметрами (для натурального параметра k, размер решения). Отвечая на вопрос, заданный Локштанов (2010), Хартунг и Нихтерляйн (2013) показывают, что проблема решения метрической размерности является полной для параметризованного класса сложности W [2], что подразумевает, что временная граница вида пO (k) достигнутый этим наивным алгоритмом, вероятно, оптимален, и что алгоритм с фиксированными параметрами (для параметризации с помощью k) вряд ли существует. Тем не менее проблема становится управляемый с фиксированными параметрами когда ограничено интервальные графики (Foucaud et al. 2017b ), и в более общем плане к графам ограниченной древовидной длины (Belmonte et al. 2015 г. ), Такие как хордовые графы, графы перестановок или графы без астероидов.
Решение о том, является ли метрическая размерность дерева не более чем заданным целым числом, может быть выполнено за линейное время (Слейтер 1975; Харари и Мельтер 1976 ). Другие алгоритмы линейного времени существуют для кографы (Эпштейн, Левин и Вегингер 2012 ), цепные графы (Fernau et al. 2015 г. ) и блочные графы кактусов (Хоффманн, Элтерман и Ванке 2016 ) (класс, включающий оба кактус графики и блочные графики ). Задача может быть решена за полиномиальное время на внешнепланарные графы (Díaz et al. 2012 г. ). Его также можно решить за полиномиальное время для графов ограниченного цикломатическое число (Эпштейн, Левин и Вегингер 2012 ), но этот алгоритм снова не является управляемым с фиксированным параметром (для параметра «цикломатическое число»), потому что показатель степени в полиноме зависит от цикломатического числа. Существуют управляемые алгоритмы с фиксированными параметрами для решения задачи измерения метрики для параметров "крышка вершины " (Hartung & Nichterlein 2013 ), «максимальное количество створок» (Эппштейн 2015 ) и «модульная ширина» (Belmonte et al. 2015 г. ). Графы с ограниченным цикломатическим числом, числом вершинных покрытий или максимальным числом листьев ограничены. ширина дерева, однако это открытая проблема - определить сложность проблемы размерности метрики даже на графах ширины дерева 2, т. е. последовательно-параллельные графы (Belmonte et al. 2015 г. ).
Сложность аппроксимации
Метрическая размерность произвольной п-вершинный граф можно аппроксимировать за полиномиальное время с точностью до коэффициент аппроксимации из выразив это как установить проблему прикрытия, проблема покрытия всего заданного набора элементов как можно меньшим количеством наборов в заданном семейство наборов (Хуллер, Рагхавачари и Розенфельд, 1996 г. ). В задаче о множественном покрытии, сформированной из задачи о метрическом измерении, элементы, которые должны быть покрыты, являются пары вершин, которые должны быть выделены, и множества, которые могут покрывать их, - это множества пар, которые можно различить по одной выбранной вершине. Оценка аппроксимации затем следует путем применения стандартных алгоритмов аппроксимации для покрытия множества. Альтернатива жадный алгоритм который выбирает вершины в соответствии с разницей в энтропия между классами эквивалентности векторов расстояний до и после выбора обеспечивает еще лучший коэффициент аппроксимации, (Hauptmann, Schmied & Viehmann, 2012 г. ). Этот коэффициент аппроксимации близок к наилучшему возможному, так как при стандартных предположениях теории сложности соотношение не может быть достигнуто за полиномиальное время ни для каких (Hauptmann, Schmied & Viehmann, 2012 г. ). Последняя трудность приближения все еще сохраняется для случаев, ограниченных субкубическими графами (Hartung & Nichterlein 2013 ) и даже двудольный субкубические графы, как показано в докторской диссертации Хартунга (Хартунг 2014 ).
Рекомендации
- Боду, Лоран; Данкельманн, Питер; Фуко, Флоран; Хеннинг, Майкл А .; Мэри, Арно; Парро, Алин (2018), «Ограничение порядка графа с использованием его диаметра и метрического измерения: исследование с помощью древовидной декомпозиции и измерения VC», Журнал SIAM по дискретной математике, 32 (2): 902–918, arXiv:1610.01475, Дои:10.1137 / 16M1097833, S2CID 51882750
- Belmonte, R .; Фомин, Ф. В .; Головач, П. А .; Рамануджан, М. С. (2015), «Метрическая размерность графов с ограниченной шириной», на итальянском языке, Г. Ф .; Pighizzini, G .; Саннелла, Д. Т. (ред.), Математические основы компьютерных наук 2015 - MFCS 2015: 40-й международный симпозиум, Милан, Италия, 24-28 августа 2015 г., Труды, Конспект лекций по информатике, 9235, Springer, стр. 115–126, Дои:10.1007/978-3-662-48054-0_10.
- Блюменталь, Л. М. (1953), Теория и приложения дистанционной геометрии, Кларендон, Оксфорд.
- Buczkowski, P .; Шартран, Г.; Пуассон, С .; Чжан, П. (2003), "О k-мерные графы и их базы », Periodica Mathematica Hungarica, 46 (1): 9–15, Дои:10.1023 / А: 1025745406160, МИСТЕР 1975342, S2CID 33390310.
- Шартран, Г.; Eroh, L .; Johnson, M. A .; Оллерманн, О. (2000), «Разрешимость в графах и метрическая размерность графа», Дискретная прикладная математика, 105 (1–3): 99–113, Дои:10.1016 / S0166-218X (00) 00198-0, HDL:10338.dmlcz / 127843, МИСТЕР 1780464.
- Díaz, J .; Pottonen, O .; Серна, М. Дж .; ван Леувен, Э. Дж. (2012), «О сложности метрической размерности» (PDF), в Эпштейне, Лия; Феррагина, Паоло (ред.), Алгоритмы - ESA 2012: 20-й ежегодный европейский симпозиум, Любляна, Словения, 10-12 сентября 2012 г., Труды, Конспект лекций по информатике, 7501, Springer, стр. 419–430, arXiv:1107.2256, Дои:10.1007/978-3-642-33090-2_37.
- Эппштейн, Дэвид (2015), «Метрический параметр, параметризованный максимальным числом листьев», Журнал графических алгоритмов и приложений, 19 (1): 313–323, arXiv:1506.01749, Дои:10.7155 / jgaa.00360, S2CID 1318601.
- Эпштейн, Лия; Левин, Асаф; Вёгингер, Герхард Дж. (2012), «(Взвешенная) метрическая размерность графов: сложные и простые случаи», в Голумбик, Мартин Чарльз; Стерн, Михал; Леви, Авивит; и другие. (ред.), Теоретико-графические концепции в компьютерных науках: 38-й международный семинар, WG 2012, Иерусалим, Израиль, 26-28 июня 2012 г., пересмотренные избранные статьи, Конспект лекций по информатике, 7551, стр. 114–125, Дои:10.1007/978-3-642-34611-8_14.
- Фэн, Мин; Сюй, Мин; Ван, Кайшун (2013), «О метрической размерности линейных графиков», Дискретная прикладная математика, 161 (6): 802–805, arXiv:1107.4140, Дои:10.1016 / j.dam.2012.10.018, S2CID 36010185.
- Фернау, Хеннинг; Хеггернес, Пинар; ван 'т Хоф, Пим; Мейстер, Дэниел; Саи, Реза (2015), "Вычисление метрического измерения для цепных графов", Письма об обработке информации, 115 (9): 671–676, Дои:10.1016 / j.ipl.2015.04.006.
- Фуко, Флоран; Мерциос, Джордж Б .; Насераср, Реза; Парро, Алин; Валиков, Петру (2017a), "Идентификация, доминирование местоположения и метрическое измерение на интервальных и перестановочных графах. I. Границы", Теоретическая информатика, 68: 43–58, arXiv:1507.08164, Дои:10.1016 / j.tcs.2017.01.006, S2CID 25244200
- Фуко, Флоран; Мерциос, Джордж Б .; Насераср, Реза; Парро, Алин; Валиков, Петру (2017b), «Идентификация, доминирование местоположения и метрическое измерение на интервальных и перестановочных графах. II. Алгоритмы и сложность», Алгоритмика, 78 (3): 914–944, arXiv:1405.2424, Дои:10.1007 / s00453-016-0184-1, S2CID 1520161.
- Гарей, М.; Джонсон, Д.С. (1979), Компьютеры и непреодолимость: руководство по теории NP-полноты, W.H. Фриман, ISBN 0-7167-1045-5 A1.5: GT61, стр. 204.
- Харари, Ф.; Мелтер Р. А. (1976), "О метрической размерности графа", Ars Combinatoria, 2: 191–195, МИСТЕР 0457289.
- Хартунг, Зепп (2014), Исследование пространств параметров в решении вычислительной трудоемкости, кандидатская диссертация, Технический университет Берлина, получено 2015-09-15.
- Хартунг, Зепп; Nichterlein, André (2013), "О параметризованной и аппроксимационной сложности метрической размерности", 2013 Конференция IEEE по вычислительной сложности (CCC), Стэнфорд, Калифорния, США, 5-7 июня 2013 г., Труды, IEEE, стр. 266–276, arXiv:1211.1636, Дои:10.1109 / CCC.2013.36, S2CID 684505.
- Гауптманн, Матиас; Шмид, Ричард; Виманн, Клаус (2012), "Аппроксимационная сложность проблемы метрической размерности", Журнал дискретных алгоритмов, 14: 214–222, Дои:10.1016 / j.jda.2011.12.010, МИСТЕР 2922072.
- Эрнандо, Кармен; Мора, Мерсе; Pelayo, Ignacio M .; Сеара, Карлос; Вуд, Дэвид Р. (2010), «Экстремальная теория графов для метрической размерности и диаметра», Электронный журнал комбинаторики, 17: # R30, Дои:10.37236/302.
- Хоффманн, Стефан; Эльтерман, Алина; Ванке, Эгон (2016), «Алгоритм линейного времени для метрической размерности блочных графов кактусов», Теоретическая информатика, 630: 43–62, Дои:10.1016 / j.tcs.2016.03.024
- Хоффманн, Стефан; Ванке, Эгон (2012), «Метрическая размерность графов единичных дисков Габриэля является NP-полной», в Бар-Ной, Амоц; Халлдорссон, Магнус М. (ред.), Алгоритмы для сенсорных систем: 8-й Международный симпозиум по алгоритмам для сенсорных систем, беспроводных специальных сетей и автономных мобильных объектов, ALGOSENSORS 2012, Любляна, Словения, 13-14 сентября 2012 г., Отредактированные избранные статьи, Конспект лекций по информатике, 7718, Springer, стр. 90–92, arXiv:1306.2187, Дои:10.1007/978-3-642-36092-3_10, S2CID 9740623.
- Хуллер, С.; Raghavachari, B .; Розенфельд, А. (1996), "Ориентиры в графах", Дискретная прикладная математика, 70 (3): 217–229, Дои:10.1016 / 0166-218x (95) 00106-2, HDL:10338.dmlcz / 140702.
- Локштанов, Даниэль (2010), "Открытые задачи - параметризованная сложность и аппроксимационные алгоритмы: метрическая размерность", в Демейн, Эрик Д.; Хаджиагайи, Мохаммад Таги; Маркс, Даниэль (ред.), Параметризованная сложность и алгоритмы аппроксимации, Dagstuhl Seminar Proceedings, Дагштуль, Германия: Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik.
- Слейтер, П. Дж. (1975), «Листья деревьев», Proc. 6-я Юго-Восточная конференция по комбинаторике, теории графов и вычислениям (Атлантический университет Флориды, Бока-Ратон, Флорида, 1975), Congressus Numerantium, 14, Виннипег: Utilitas Math., Стр. 549–559, МИСТЕР 0422062.
- Слейтер, П. Дж. (1988), "Доминирующие и ссылочные множества в графе", Журнал математических и физических наук, 22 (4): 445–455, МИСТЕР 0966610.