Микросвязка - Microbundle

В математика, а микросвязка является обобщением концепции векторный набор, представленный Американец математик Джон Милнор в 1964 г.^[1] Это позволяет создавать объекты, подобные пакетам, в ситуациях, когда они обычно не считаются существующими. Например, касательный пучок определяется для гладкое многообразие но не топологическое многообразие. Использование микрогруппировок позволяет определить топологический касательный пучок.

Определение

Ниже приводится точное определение микробандла. Позволять B быть топологическое пространство. Затем п-микросвязь состоит из трех ${ Displaystyle (Е, я, р)}$, куда E является топологическим пространством («тотальное пространство»), я это карта из B к E («нулевой участок») и п это карта из E к B («карта проекции»). Кроме того, есть два условия:

1. состав я с последующим п должна быть личность;
2. для каждого б в B, должен быть район ${ displaystyle V_ {b}}$ из ${ Displaystyle я (б)}$ в E такой, что п ограниченный ${ displaystyle V_ {b}}$ выглядит как проекция ${ displaystyle U_ {b} times mathbb {R} ^ {n} to U_ {b}}$.

Обратите внимание, что первое условие предполагает я - нулевое сечение векторного расслоения, а второе - как местная мелочь условие на связку. Важным отличием здесь является то, что «локальная тривиальность» для микробандлеров имеет место только в окрестности нулевого сечения. E мог выглядеть очень дико вдали от этого района. Кроме того, карты, склеивающие вместе локально тривиальные участки микробандла, могут только перекрывать волокна.

Полученные результаты

Два микробандажа изоморфны, если у них есть окрестности своих нулевых участков, которые гомеоморфный по карте, по которой перемещаются необходимые карты. Типичные операции с пакетами, такие как индуцированные пучки при откате существуют.

Теорема Джеймса Кистера и Барри Мазур утверждает, что существует окрестность нулевого сечения, которая на самом деле представляет собой расслоение со слоем ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ и структурная группа ${ displaystyle operatorname {Homeo} ( mathbb {R} ^ {n}, 0)}$, группа гомеоморфизмов ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ фиксация происхождения. Этот район уникален до изотопия. Таким образом, каждый микропучок может быть преобразован в реальный пучок волокон по существу уникальным способом.^[2]

Для многообразия M, топологическое многообразие, существует микрорасслоение, заданное диагональным отображением ${ displaystyle M to M times M}$ и проекция на первую координату. Взяв содержащийся в нем расслоение, мы получим топологическое касательное расслоение. Интуитивно этот набор получается путем взятия системы небольших диаграмм для M, позволяя каждому графику U есть волокно U над каждой точкой карты и склеивая эти тривиальные расслоения, перекрывая слои в соответствии с картами переходов.

Теория микробандлеров является неотъемлемой частью работы Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн на гладкие конструкции и Структуры PL на высшее измерение коллекторы.^[3]

Рекомендации

• Голд, Дэвид; Гринвуд, Сина (2000). «Микросвязки, многообразия и метризуемость». Труды Американского математического общества. 128 (9): 2801–2808. Дои:10.1090 / s0002-9939-00-05343-0. МИСТЕР  1664358.
• Свитцер, Роберт М. (2002). Алгебраическая топология - гомотопия и гомологии. Классика по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42750-6. МИСТЕР  1886843. См. Главу 14.

внешняя ссылка

• Микросвязка в Manifold Atlas.