Проблема минимального перекрытия - Minimum overlap problem

В теория чисел и теория множеств, то проблема минимального перекрытия проблема, предложенная Венгерский математик Пол Эрдёш в 1955 г.^[1][2]

Формальная постановка проблемы

Позволять А = {а_я} и B = {б_j} быть двумя дополнительные подмножества, расщепление множества натуральные числа {1, 2, …, 2п}, так что оба имеют одинаковые мощность, а именно п. Обозначим через M_k количество решений уравнения а_я − б_j = k, куда k является целое число варьируется между −2п и 2п. M (п) определяется как:

${ Displaystyle М (п): = мин _ {А, В} макс _ {к} М_ {к}. , !}$

Проблема в том, чтобы оценить M (п) когда п достаточно большой.^[2]

История

Эту проблему можно найти среди проблем, предложенных Пол Эрдёш в комбинаторная теория чисел, известный среди англоговорящих людей как Проблема минимального перекрытия. Впервые он был сформулирован в 1955 г. в статье Несколько замечаний по теории чисел из Riveon Lematematica, и стала одной из классических проблем, описанных Ричард К. Гай в его книге Нерешенные проблемы теории чисел.^[1]

Частичные результаты

С тех пор, как она была сформулирована впервые, в расчетах нижняя граница и верхняя граница из M (п), со следующими результатами:^[1][2]

Ниже

Ограничить низшее	Авторы)	Год
${ Displaystyle М (п)> п / 4}$	П. Эрдёш	1955
${ Displaystyle М (п)> (1-2 ^ {- 1/2}) , п}$	П. Эрдёш, Шерк	1955
${ Displaystyle М (п)> (4-6 ^ {- 1/2}) , п / 5}$	С. Сверчковски	1958
${ Displaystyle М (п)> (4-15 ^ {1/2}) ^ {1/2} , (п-1)}$	Л. Мозер	1966
${ Displaystyle М (п)> (4-15 ^ {1/2}) ^ {1/2} , п}$	Дж. К. Хаугланд	1996

Верхний

Предел высшего	Авторы)	Год
${ Displaystyle М (п) <(1 + о (1)) п / 2}$	П. Эрдёш	1955
${ Displaystyle М (п) <(1 + о (1)) 2n / 5}$	Т. С. Моцкин, К. Э. Ральстон и Дж. Л. Селфридж,	1956
${ Displaystyle М (п) <(1 + о (1)) 0,382002 ... п}$	Дж. К. Хаугланд	1996
${ Displaystyle М (п) <(1 + о (1)) 0,380926 ... п}$	Дж. К. Хаугланд	2016

Дж. К. Хаугланд показал, что предел из M (п) / п существует и что оно меньше 0,385694. За свои исследования он был удостоен премии конкурса молодых ученых в 1993 году.^[3] В 1996 году он улучшил верхнюю границу до 0,38201, используя результат Питер Суиннертон-Дайер.^[4][2] Теперь он был дополнительно улучшен до 0,38093.^[5]

Первые известные значения M(п)

Ценности M (п) для первых 15 натуральных чисел следующие:^[1]

${ Displaystyle п , !}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	...
${ Displaystyle М (п) , !}$	1	1	2	2	3	3	3	4	4	5	5	5	6	6	6	...

Это просто Закон малых чисел что это ${ Displaystyle textstyle lfloor 5 (п + 3) / 13 rfloor}$^[1]

Рекомендации