Проблема Минковского для многогранников - Minkowski problem for polytopes

В геометрии выпуклые многогранники, то Проблема Минковского для многогранников касается задания формы многогранника направлениями и меры своего грани.^[1] Теорема о том, что каждый многогранник однозначно определен с точностью до перевод этой информацией подтвердили Герман Минковски; она была названа «теоремой Минковского», хотя то же имя было дано нескольким не связанным между собой результатам Минковского.^[2] Задачу Минковского для многогранников также следует отличать от задачи Проблема Минковского, по заданию выпуклых форм по их кривизне.

Спецификация и необходимые условия

Для любого ${ displaystyle d}$-мерный многогранник, можно указать его набор направлений и мер фасет конечным набором ${ displaystyle d}$-мерный ненулевой векторов по одному на каждую грань, направленную перпендикулярно наружу от грани, с длиной, равной ${ displaystyle (d-1)}$-мерная мера его грани.^[3] Чтобы быть допустимой спецификацией ограниченного многогранника, эти векторы должны охватывать все ${ displaystyle d}$-мерное пространство, и никакие два не могут быть параллельны с одним и тем же знаком. Кроме того, их сумма должна быть равна нулю; это требование соответствует наблюдению, что, когда многогранник проецируется перпендикулярно на любую гиперплоскость, проекция размеров его верхних и нижних фасетов должна быть одинаковой, потому что верхние фасеты проецируются на тот же набор, что и нижние фасеты.^[1]

Теорема единственности Минковского

Это теорема Герман Минковски что эти необходимые условия достаточны: каждый конечный набор векторов, охватывающий все пространство, не имеет двух параллелей с одинаковым знаком и суммы до нуля описывают направления граней и меры многогранника. Более того, форма этого многогранника однозначно определяется этой информацией: каждые два многогранника, порождающие один и тот же набор векторов, являются переводы друг друга.

Суммы Бляшке

Наборы векторов, представляющие два многогранника, могут быть добавлены путем объединения двух наборов и, когда два набора содержат параллельные векторы с одинаковым знаком, заменой их их суммой. Результирующая операция с формами многогранников называется Сумма Бляшке. Его можно использовать для разложения произвольных многогранников на симплексы, и центрально-симметричный многогранники в параллелоэдры.^[2]

Обобщения

Имея некоторую дополнительную информацию (включая разделение направления и размера фасета на единичный вектор и действительное число, которое может быть отрицательным, предоставляя дополнительный бит информации для каждого фасета), можно обобщить эти результаты существования и уникальности на определенные классы не -выпуклые многогранники.^[4]

Также возможно однозначно задавать трехмерные многогранники по направлению и периметру их граней. Теорема Минковского и уникальность этой спецификации по направлению и периметру имеют общее обобщение: всякий раз, когда два трехмерных выпуклых многогранника обладают тем свойством, что их грани имеют одинаковые направления, и никакая грань одного многогранника не может быть преобразована в соответствующее подмножество грани. с тем же направлением, что и другой многогранник, два многогранника должны быть сдвинуты друг к другу. Однако эта версия теоремы не распространяется на более высокие измерения.^[4][5]

Смотрите также

• Теорема единственности Александрова
• Теорема Коши (геометрия)

Рекомендации