Параллелоэдр - Parallelohedron

В геометрия а параллелоэдр это многогранник это может быть переведено без поворотов в 3-х мерном Евклидово пространство заполнить пространство соты в котором все копии многогранника встречаются лицом к лицу. Существует пять типов параллелоэдра, впервые идентифицированных Евграф Федоров в 1885 г. в своих исследованиях кристаллографических систем: куб, шестиугольная призма, ромбический додекаэдр, удлиненный додекаэдр, и усеченный октаэдр.[1]

Классификация

Каждый параллелоэдр - это зоноэдр, построенный как Сумма Минковского от трех до шести линейных сегментов. Каждый из этих отрезков прямой может иметь любое положительное действительное число в качестве длины, и каждое ребро параллелоэдра параллельно одному из этих образующих отрезков той же длины. Если длина отрезка параллелоэдра, образованного из четырех или более отрезков, уменьшается до нуля, в результате многогранник вырождается к более простой форме - параллелоэдр, образованный на один сегмент меньше.[2] Как зоноэдр, эти формы автоматически имеют 2 Cя центральная инверсия симметрия[1] но возможны дополнительные симметрии при соответствующем выборе образующих сегментов.[3]

Пять типов параллелоэдра:[1]

  • А параллелепипед, созданный из трех отрезков, которые не параллельны общей плоскости. Наиболее симметричной формой является куб, образованный тремя перпендикулярными отрезками линии единичной длины.
  • А шестиугольная призма, сформированный из четырех отрезков, три из которых параллельны общей плоскости, а четвертый - нет. Его наиболее симметричная форма - правая призма над правильным шестиугольником.
  • В ромбический додекаэдр, сформированный из четырех отрезков, два из которых не параллельны общей плоскости. Его наиболее симметричная форма создается четырьмя длинными диагоналями куба.
  • В удлиненный додекаэдр, сформированный из пяти отрезков прямых, один из которых параллелен общей плоскости с двумя непересекающимися парами остальных четырех. Его можно сгенерировать, используя ребро куба и его четыре длинные диагонали в качестве образующих.
  • В усеченный октаэдр, созданный из шести сегментов линии с четырьмя наборами по три копланарных сегмента. Он может быть встроен в четырехмерное пространство как 4-пермутаэдр, вершины которого являются перестановками счетных чисел (1,2,3,4). В трехмерном пространстве его наиболее симметричная форма создается из шести отрезков, параллельных диагоналям граней куба.

Любой зоноэдр, грани которого имеют ту же комбинаторную структуру, что и одна из этих пяти форм, является параллелоэдром, независимо от его конкретных углов или длин ребер. Например, любой аффинное преобразование параллелоэдра даст другой параллелоэдр того же типа.[1]

ИмяКуб
(параллелепипед)		Гексагональная призма
Удлиненный куб		Ромбический додекаэдрУдлиненный додекаэдрУсеченный октаэдр
Изображения (цвета указывают параллельные края)Ребра параллелоэдра cube.pngГрани параллелоэдра шестиугольная призма.pngРебра параллелоэдра rhombic dodecahedron.pngРебра параллелоэдра продолговатый ромбический додекаэдр.pngParallelohedron edge truncated octahedron.png
Количество генераторов34456
Вершины812141824
Края1218242836
Лица68121214
ПлиткаPartial Cubic honeycomb.pngГексагональные призматические соты.pngHC R1.pngРомбо-гексагональный додекаэдр tessellation.pngHC-A4.png
Имя плитки и Диаграмма Кокстера – ДынкинаКубический
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png		Шестиугольная призматическая
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png		Ромбический додекаэдр
Узел CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png		Удлиненный додекаэдрУсеченный кубический
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png

Симметрии

При дальнейшем разбиении по группам симметрии получается 22 формы параллелоэдров. Для каждой формы центры ее копий в сотах образуют точки одного из 14 Решетки Браве. Поскольку решеток Браве меньше, чем симметричных форм параллелоэдров, определенные пары параллелоэдров отображаются в одну и ту же решетку Браве.[3]

Поместив одну конечную точку каждого сегмента образующей параллелоэдра в начало трехмерного пространства, образующие могут быть представлены как трехмерные. векторов, положение их противоположных конечных точек. При таком размещении сегментов одна вершина параллелоэдра сама будет в начале координат, а остальные будут в положениях, заданных суммами определенных подмножеств этих векторов. Параллелоэдр с Таким образом, векторы могут быть параметризованы координаты, по три для каждого вектора, но действительны только некоторые из этих комбинаций (из-за требования, чтобы определенные тройки сегментов лежали в параллельных плоскостях или, что то же самое, что определенные тройки векторов копланарны), и различные комбинации могут привести к параллелоэдрам, которые отличаются только вращением, преобразованием масштабирования или, в более общем смысле, аффинное преобразование. При вычленении аффинных преобразований количество свободных параметров, описывающих форму параллелоэдра, равно нулю для параллелепипеда (все параллелепипеды эквивалентны друг другу при аффинных преобразованиях), два для гексагональной призмы, три для ромбического додекаэдра, четыре для удлиненного додекаэдра и пять для усеченного октаэдра.[4]

История

Разделение параллелоэдров на пять типов впервые было сделано русским кристаллографом. Евграф Федоров, как глава 13 русскоязычной книги, впервые опубликованной в 1885 году, название которой было переведено на английский как Введение в теорию фигур.[5] Некоторые математические выкладки в этой книге ошибочны; например, он включает неправильное доказательство леммы, утверждающей, что каждое моноэдральное разбиение плоскости в конечном итоге периодично, что остается нерешенным как проблема Эйнштейна.[6] В случае параллелоэдров Федоров без доказательства предположил, что каждый параллелоэдр центрально симметричен, и использовал это предположение для доказательства своей классификации. Позже классификация параллелоэдров была поставлена ​​на более прочную основу. Герман Минковски, кто использовал его Теорема единственности для многогранников с заданными нормалями граней и площадями чтобы доказать центральную симметрию параллелоэдров.[1]

Связанные фигуры

В двух измерениях фигура, аналогичная параллелоэдру, представляет собой параллелогон, многоугольник, который может замостить плоскость от края до края путем перемещения. параллелограммы и шестиугольники с параллельными противоположными сторонами и равной длины.[7]

В более высоких измерениях параллелоэдр называется параллелотоп. Существует 52 различных четырехмерных параллелоэдра, впервые перечисленных Борис Делоне (с одним отсутствующим параллелотопом, позднее обнаруженным Михаилом Штогриным),[8] и 103769 типов в пяти измерениях.[9][10] В отличие от случая с тремя измерениями, не все из них зонотопы. 17 из четырехмерных параллелоэдров - зонотопы, один - регулярный 24-элементный, а остальные 34 из этих фигур Суммы Минковского зонотопов с 24-ячейкой.[11] А -мерный параллелоэдр может иметь не более грани, с пермутоэдр достижение этого максимума.[2]

А плезиоэдр представляет собой более широкий класс трехмерных многогранников, заполняющих пространство, образованных из Диаграммы Вороного периодических множеств точек.[7] В качестве Борис Делоне доказано в 1929 г.,[12] каждый параллелоэдр можно превратить в плезиоэдр аффинным преобразованием,[1] но это остается открытым в более высоких измерениях,[2] а в трех измерениях также существуют другие плезиоэдры, не являющиеся параллелоэдрами. Замощения пространства плезиоэдрами имеют симметрии, переводящие любую ячейку в любую другую ячейку, но в отличие от параллелоэдров, эти симметрии могут включать вращения, а не только сдвиги.[7]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж Александров, А. (2005). «8.1 Параллелоэдры». Выпуклые многогранники. Springer. С. 349–359.
  2. ^ а б c Динст, Тило. «Пять параллелоэдров Федорова в р3". Дортмундский университет. Архивировано из оригинал на 2016-03-04.
  3. ^ а б Туттон, А. Э. Х. (1922). Кристаллография и практическое измерение кристаллов, Vol. I: Форма и структура. Макмиллан. п. 567.
  4. ^ Долбилин, Николай П .; Ито, Джин-ичи; Нара, Чи (2012). «Аффинные классы трехмерных параллелоэдров - их параметризация». В Акияма, Джин; Кано, Микио; Сакаи, Тошинори (ред.). Вычислительная геометрия и графики - Совместная конференция Таиланда и Японии, TJJCCGG 2012, Бангкок, Таиланд, 6-8 декабря 2012 г., Пересмотренные избранные статьи. Конспект лекций по информатике. 8296. Springer. С. 64–72. Дои:10.1007/978-3-642-45281-9_6.
  5. ^ Федоров, Э.С. (1885). Начала учения о фигурах [Введение в теорию фигур] (на русском).
  6. ^ Сенешаль, Марджори; Галиулин, Р. В. (1984). «Введение в теорию фигур: геометрия Е. С. Федорова». Структурная топология (на английском и французском языках) (10): 5–22. HDL:2099/1195. МИСТЕР  0768703.
  7. ^ а б c Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г.С. (1980). «Плитки из одинаковых плиток». Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 3 (3): 951–973. Дои:10.1090 / S0273-0979-1980-14827-2. МИСТЕР  0585178.
  8. ^ Энгель, П. (1988). Hargittai, I .; Вайнштейн, Б. (ред.). «Математические проблемы современной кристаллографии». Кристаллические симметрии: записки Шубникова к столетию. Компьютеры и математика с приложениями. 16 (5–8): 425–436. Дои:10.1016/0898-1221(88)90232-5. МИСТЕР  0991578. См. В частности п. 435.
  9. ^ Энгель, Питер (2000). «Типы сжатия параллелоэдров в ". Acta Crystallographica. 56 (5): 491–496. Дои:10.1107 / S0108767300007145. МИСТЕР  1784709.
  10. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A071880 (Количество комбинаторных типов n-мерных параллелоэдров)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
  11. ^ Деза, Мишель; Гришухин, Вячеслав П. (2008). «Еще о 52 четырехмерных параллелоэдрах». Тайваньский математический журнал. 12 (4): 901–916. arXiv:математика / 0307171. Дои:10.11650 / twjm / 1500404985. МИСТЕР  2426535.
  12. ^ Остин, Дэвид (ноябрь 2013 г.). "Пять параллелоэдров Федорова". Столбец характеристик AMS. Американское математическое общество.

внешняя ссылка