Модули (физика) - Moduli (physics)

В квантовая теория поля, период, термин модули (или точнее поля модулей) иногда используется для обозначения скалярные поля функция потенциальной энергии которого имеет непрерывные семейства глобальных минимумов. Такие потенциальные функции часто встречаются в суперсимметричный системы. Термин «модуль» заимствован из математики, где он используется как синоним «параметр». Слово модули (Moduln на немецком языке) впервые появился в 1857 г. Бернхард Риманн знаменитая газета "Theorie der Abel'schen Functionen".^[1]

Пространства модулей в квантовых теориях поля

В квантовых теориях поля возможные вакуумы обычно обозначаются вакуумными математическими ожиданиями скалярных полей, поскольку лоренц-инвариантность вынуждает исчезать вакуумные математические ожидания любых высших спиновых полей. Эти ожидаемые значения вакуума могут принимать любое значение, для которого потенциальная функция является минимальной. Следовательно, когда потенциальная функция имеет непрерывные семейства глобальных минимумов, пространство вакуума для квантовой теории поля представляет собой многообразие (или орбифолд), обычно называемое вакуумный коллектор. Это многообразие часто называют пространство модулей вакуума, или просто пространство модулей, для краткости.

Период, термин модули также используются в теория струн для обозначения различных непрерывных параметров, которые обозначают возможные струнные фоны: математическое ожидание дилатон поле, параметры (например, радиус и сложная структура), которые определяют форму компактификационного многообразия и т. д. Эти параметры представлены в квантовой теории поля, которая приближает теорию струн при низких энергиях, с помощью математических ожиданий безмассовых скалярных полей в вакууме, что соответствует описанному выше использованию. В теории струн термин «пространство модулей» часто используется специально для обозначения пространства всех возможных струнных фонов.

Пространства модулей суперсимметричных калибровочных теорий

В общих квантовых теориях поля, даже если классическая потенциальная энергия минимизируется по большому набору возможных значений математического ожидания, обычно после включения квантовых поправок почти все эти конфигурации перестают минимизировать энергию. В результате набор вакуума квантовая теория обычно намного меньше, чем у классическая теория. Заметное исключение возникает, когда различные рассматриваемые вакуумы связаны между собой симметрия что гарантирует, что их энергетические уровни останутся точно вырожденными.

Ситуация совсем иная в суперсимметричный квантовые теории поля. Как правило, они обладают большими пространствами модулей вакуума, которые не связаны какой-либо симметрией, например, массы различных возбуждений могут различаться в разных точках пространства модулей. Пространства модулей суперсимметричных калибровочных теорий, как правило, легче вычислить, чем те из несуперсимметричных теорий, потому что суперсимметрия ограничивает разрешенные геометрии пространства модулей даже при учете квантовых поправок.

Допустимые пространства модулей 4-мерных теорий

Чем больше суперсимметрии, тем сильнее ограничение на вакуумное многообразие. Следовательно, если ограничение появляется ниже для заданного числа спиноров суперзарядов N, то оно справедливо и для всех больших значений N.

N = 1 теории

Первое ограничение на геометрию пространства модулей было найдено в 1979 г. Бруно Зумино и опубликовано в статье Суперсимметрия и кэлеровы многообразия.. Он рассмотрел N = 1 теорию в четырех измерениях с глобальной суперсимметрией. N = 1 означает, что фермионные компоненты алгебры суперсимметрии могут быть собраны в одну Майорана перезарядка. Единственными скалярами в такой теории являются комплексные скаляры киральные суперполя. Он обнаружил, что вакуумное многообразие допустимых значений математического ожидания для этих скаляров не только комплексное, но и Кэлерово многообразие.

Если сила тяжести включена в теорию, так что существует локальная суперсимметрия, то полученная теория называется супергравитация теория и ограничение на геометрию пространства модулей усиливается. Пространство модулей должно быть не только кэлеровым, но и кэлерова форма должна подниматься до интеграла. когомология. Такие многообразия называются Многообразия Ходжа. Первый пример появился в статье 1979 г. Спонтанное нарушение симметрии и эффект Хиггса в супергравитации без космологической постоянной и общее заявление появилось 3 года спустя в Квантование постоянной Ньютона в некоторых теориях супергравитации.

N = 2 теории

В расширенных 4-мерных теориях с N = 2 суперсимметрией, соответствующей одной Спинор Дирака суперзаряд, условия посильнее. Алгебра суперсимметрии N = 2 содержит два представления со скалярами векторный мультиплет который содержит комплексный скаляр и гипермультиплет который содержит два комплексных скаляра. Пространство модулей векторных мультиплетов называется Кулоновская ветвь в то время как гипермультиплет называется Ветвь Хиггса. Общее пространство модулей является локально произведением этих двух ветвей, так как теоремы о неперенормировке подразумевают, что метрика каждого из них не зависит от полей другого мультиплета (см., например, Argyres, Непертурбативная динамика четырехмерных суперсимметричных теорий поля, стр. 6–7, для дальнейшего обсуждения структуры местного продукта.)

В случае глобальной суперсимметрии N = 2, другими словами в отсутствие гравитации, кулоновская ветвь пространства модулей является специальное кэлерово многообразие. Первый пример этого ограничения появился в статье 1984 г. Потенциалы и симметрии общей калиброванной N = 2 супергравитации: модели Янга-Миллса к Бернар де Вит и Антуан Ван Проайен, а общее геометрическое описание базовой геометрии, называемое особая геометрия, был представлен Эндрю Строминджер в его статье 1990 г. Специальная геометрия.

Ветвь Хиггса - это гиперкэлерово многообразие как было показано Луис Альварес-Гауме и Дэниел Фридман в своей статье 1981 г. Геометрическая структура и ультрафиолетовая конечность в суперсимметричной сигма-модели. С учетом силы тяжести суперсимметрия становится локальной. Затем нужно добавить к специальной кулоновской ветви Калера то же условие Ходжа, что и в случае N = 1. Джонатан Баггер и Эдвард Виттен продемонстрировали в своей статье 1982 г. Связи материи в супергравитации N = 2 что в этом случае ветвь Хиггса должна быть кватернионное кэлерово многообразие.

N> 2 Суперсимметрия

В расширенных сверхтяжелостях с N> 2 пространство модулей всегда должно быть симметричное пространство.