Моноидальная монада - Monoidal monad

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Моноидальная монада»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория категорий, а моноидальная монада ${displaystyle (T, eta, mu, T_ {A, B}, T_ {0})}$ это монада ${displaystyle (T, eta, mu)}$ на моноидальная категория ${displaystyle (C, otimes, I)}$ такой, что функтор ${displaystyle T: (C, otimes, I) o (C, otimes, I)}$ это слабый моноидальный функтор и естественные преобразования ${displaystyle eta}$ и ${displaystyle mu}$ находятся моноидальные естественные преобразования. Другими словами, ${displaystyle T}$ оснащен картами когерентности ${displaystyle T_ {A, B}: TAotimes TB o T (Aotimes B)}$ и ${displaystyle T_ {0}: I o TI}$ удовлетворение определенные свойства (опять же: они слабые моноидальные), а единица измерения ${displaystyle eta: idRightarrow T}$ и умножение ${displaystyle mu: T ^ {2} Rightarrow T}$ находятся моноидальные естественные преобразования. По моноидальности ${displaystyle eta}$, морфизмы ${displaystyle T_ {0}}$ и ${displaystyle eta _ {I}}$ обязательно равны.

Все вышесказанное можно сжать до утверждения, что моноидальная монада является монадой в 2 категории ${displaystyle {mathsf {MonCat}}}$ моноидальных категорий, слабых моноидальных функторов и моноидальных естественных преобразований.

Опмоноидальные монады

Опмоноидальные монады изучались под разными названиями. Иеке Мурдейк представил их как «монады Хопфа»,^[1] а в работах Брюгьера и Вирелизье их называют «бимонады» по аналогии с «биалгебра ",^[2] сохраняя термин «монада Хопфа» для опмоноидных монад с антиподом, по аналогии с «Алгебры Хопфа ".

An опмоноидальная монада это монада ${displaystyle (T, eta, mu)}$ в 2-я категория ${displaystyle {mathsf {OpMonCat}}}$ моноидальные категории, моноидальные функторы oplax и моноидальные естественные преобразования. Это значит монада ${displaystyle (T, eta, mu)}$ на моноидальная категория ${displaystyle (C, otimes, I)}$ вместе с картами когерентности ${displaystyle T ^ {A, B}: T (Aotimes B) o TAotimes TB}$ и ${displaystyle T ^ {0}: TI o I}$ удовлетворяющий трем аксиомам, которые составляют опмоноидальный функтор, и еще четырем аксиомам, которые делают единицу ${displaystyle eta}$ и умножение ${displaystyle mu}$ в опмоноидальные природные превращения. В качестве альтернативы, опмоноидальная монада - это монада в моноидальной категории, такая что категория алгебр Эйленберга-Мура имеет моноидальную структуру, для которой забывчивый функтор является сильным моноидальным.^[1][3]

Простой пример для моноидальной категории ${displaystyle operatorname {Vect}}$ векторных пространств - это монада ${displaystyle -otimes A}$, куда ${displaystyle A}$ это биалгебра.^[2] Умножение и единица ${displaystyle A}$ определяют умножение и единицу монады, в то время как коумножение и счетчик ${displaystyle A}$ дают начало опмоноидальной структуре. Алгебры этой монады правы ${displaystyle A}$-модули, которые можно тензорировать так же, как и лежащие в их основе векторные пространства.

Характеристики

• В Категория Клейсли моноидальной монады имеет каноническую моноидальную структуру, индуцированную моноидальной структурой монады, и такую, что свободный функтор является сильным моноидальным. Каноническое соединение между ${displaystyle C}$ а категория Клейсли - это моноидальное присоединение относительно этой моноидальной структуры это означает, что 2-категория ${displaystyle {mathsf {MonCat}}}$ имеет объекты Kleisli для монад.
• 2-категория монад в ${displaystyle {mathsf {MonCat}}}$ 2-категория моноидальных монад ${displaystyle {mathsf {Mnd (MonCat)}}}$ и изоморфна 2-категории ${displaystyle {mathsf {Mon (Mnd (Cat))}}}$ monoidales (или псевдомоноидов) в категории монад ${displaystyle {mathsf {Mnd (Cat)}}}$, (рыхлые) моноидальные стрелки между ними и моноидальные ячейки между ними.^[4]
• В Категория Эйленберга-Мура опмоноидальной монады имеет каноническую моноидальную структуру, такую ​​что забывчивый функтор является сильным моноидальным.^[1] Таким образом, 2-категория ${displaystyle {mathsf {OpmonCat}}}$ имеет объекты Эйленберга-Мура для монад.^[3]
• 2-категория монад в ${displaystyle {mathsf {OpmonCat}}}$ 2-категория моноидальных монад ${displaystyle {mathsf {Mnd (OpmonCat)}}}$ и изоморфна 2-категории ${displaystyle {mathsf {Opmon (Mnd (Кот))}}}$ monoidales (или псевдомоноидов) в категории монад ${displaystyle {mathsf {Mnd (Cat)}}}$ между ними опмоноидальные стрелки и между ними опмоноидальные клетки.^[4]

Примеры

Следующие монады о категории множеств с ее декартово моноидальный структура, моноидальные монады:

• В набор мощности монада ${displaystyle (mathbb {P}, varnothing, cup)}$. Действительно, есть функция ${displaystyle mathbb {P} (X) imes mathbb {P} (Y) o mathbb {P} (X imes Y)}$, отправив пару ${displaystyle (X'subseteq X, Y'subseteq Y)}$ подмножеств к подмножеству ${displaystyle {(x, y) mid xin X '{ext {and}} yin Y'} subteq X imes Y}$. Эта функция естественна в Икс и Y. Вместе с уникальной функцией ${displaystyle {1} o mathbb {P} (varnothing)}$ а также тот факт, что ${displaystyle mu, eta}$ моноидальные естественные преобразования, ${displaystyle (mathbb {P}})$ устанавливается как моноидальная монада.
• Монада вероятностных распределений (Жири).

Следующие монады категории множеств с ее декартовой моноидальной структурой: нет моноидальные монады

• Если ${displaystyle M}$ моноид, то ${displaystyle Xmapsto X imes M}$ - монада, но в общем случае нет причин ожидать на ней моноидальной структуры (если только ${displaystyle M}$ коммутативна).

Рекомендации