Самый совершенный магический квадрат - Most-perfect magic square

	੭ ੧੨ ੧ ੧੪ ੨ ੧੩ ੮ ੧੧ ੧੬ ੩ ੧० ੫ ੯ ੬ ੧੫ ੪ 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4 транскрипция из в индийские цифры
Самый совершенный магический квадрат из в Храм Паршванатх Джайн в Кхаджурахо

А самый совершенный магический квадрат вдвойне четного порядка п = 4k пан-диагональ магический квадрат содержащий числа от 1 до п² с тремя дополнительными свойствами:

1. Каждый подквадрат 2 × 2, включая циклический, суммируется до s/k, куда s = п(п² + 1) / 2 - магическая сумма.
2. Все пары целых чисел далеки п/ 2 по любой диагонали (большой или ломаной) являются дополнительными (т. Е. Их сумма равна п² + 1).

Примеры

Конкретные примеры наиболее совершенных магических квадратов, которые начинаются с даты 2015 года, демонстрируют, как теория и информатика могут определить эту группу магических квадратов.^[1]  Только 16 из 64 блоков ячеек 2x2, которые в сумме составляют 130, выделены шрифтами разного цвета в примере 8x8.

Квадрат 12x12 ниже был найден путем совмещения всех 42 основных обратимых квадратов с Реверсивные,Бег Преобразование1 2Все на всех 42, составляя по 23040 каждого (из общего количества 23040 x 23040 каждый), затем составляя из них наиболее точные квадраты с помощью Реверсивный. Затем эти квадраты сканировались на квадраты с 20,15 в соответствующих ячейках для любого из 8 поворотов. Все квадраты 2015 года произошли от главного обратимого квадрата под номером 31. Сумма значений этого квадрата составляет 35 на противоположных сторонах вертикальной средней линии в первых двух рядах.^[2]

Обновление 2021 года ниже показывает, как суммы блоков ячеек 2x2 сохраняются в преобразовании строки / столбца.

Характеристики

Все самые совершенные магические квадраты панмагические квадраты.

За исключением тривиального случая квадрата первого порядка, все наиболее совершенные магические квадраты имеют порядок 4.п. В своей книге Кэтлин Оллереншоу и Дэвид С. Бре дайте способ построения и перечисления всех наиболее совершенных магических квадратов. Они также показывают, что существует индивидуальная переписка между обратимые квадраты и самые совершенные магические квадраты.

Количество существенно разные совершенные магические квадраты порядка 4n для п = 1, 2, ... образуют последовательность:

48, 368640, 22295347200, 932242784256000, 144982397807493120000, ... (последовательность A051235 в OEIS ).

Например, около 2,7 × 10⁴⁴ существенно разные наиболее совершенные магические квадраты порядка 36.

Панмагические квадраты четвертого порядка являются наиболее совершенными магическими квадратами. Второе свойство подразумевает, что каждая пара целых чисел с одинаковым цветом фона в квадрате 4 × 4 ниже имеет одинаковую сумму, и, следовательно, любые две такие пары суммируются с магической константой. .

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Физические свойства

На изображении ниже показаны области, полностью окруженные большими числами на синем фоне. Топографическая модель удержания воды является одним из примеров физических свойств магических квадратов. Модель удержания воды эволюционировала от частного случая магического квадрата к более общей системе случайных уровней. Было обнаружено довольно интересное противоречащее интуиции открытие, что случайная двухуровневая система будет удерживать больше воды, чем случайная трехуровневая система, когда размер квадрата больше 51 X 51. Об этом сообщалось в Physical Review Letters в 2012 году и упоминалось в статье Nature в 2018 году.^[3][4]

Обобщения

Самые совершенные волшебные кубики

Есть 108 таких подквадратов 2x2, которые имеют одинаковую сумму для наиболее совершенного куба 4x4x4.^[5] 

Смотрите также

• Шрирамачакра
• Пандиагональный магический квадрат (дьявольский квадрат)

Заметки

Рекомендации

• Кэтлин Оллереншоу, Дэвид С. Бре: Самые совершенные пандиагональные магические квадраты: их конструкция и перечисление, Саутенд-он-Си: Институт математики и ее приложений, 1998 г., 186 стр., ISBN  0-905091-06-X
• Т. В. Падмакумар, Теория чисел и магические квадраты, Книги суры, Индия, 2008 г., 128 стр., ISBN  978-81-8449-321-4

внешняя ссылка

• Т. В. Падмакумар, Сильно магические квадраты
• Харви Хайнц: Самые совершенные магические квадраты
• OEIS последовательность A051235 (количество существенно различных наиболее совершенных пандиагональных магических квадратов порядка 4n)
• OEIS последовательность A270205 (количество плоских подмножеств 2 X 2 в кубе n X n X n)
• OEIS последовательность A275359 (Максимальное размещение чисел в кубах n X n X n с полными объемами заключения) - Заключение
• Б. Бургер, Дж. С. Андраде-младший, Х. Дж. Херрманн (2018). «Сравнение гидрологических и топологических водосборов». Научные отчеты. 8 (1): 10586. Bibcode:2018НатСР ... 810586Б. Дои:10.1038 / s41598-018-28470-2. ЧВК  6043487. PMID  30002379.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)
• Введено наложение шаблона каждой другой ячейки, окруженной четырьмя более крупными значениями