Магический гиперкуб - Magic hypercube

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к Сделайте это понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Октябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Магический гиперкуб»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Октябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья может требовать уборка встретиться с Википедией стандарты качества. Конкретная проблема: математические выражения нужно переписать в разметке AMS-LaTeX Пожалуйста помоги улучшить эту статью если вы можете. (Март 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья написано как личное размышление, личное эссе или аргументированное эссе который излагает личные чувства редактора Википедии или представляет оригинальный аргумент по теме. Пожалуйста помогите улучшить это переписав его в энциклопедический стиль. (Октябрь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Было высказано предположение, что Магический гиперпучок быть слился в эту статью. (Обсудить) Предлагается с мая 2020 года. Было высказано предположение, что Насик магический гиперкуб быть слился в эту статью. (Обсудить) Предлагается с мая 2020 года. (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а магический гиперкуб это k-размерный обобщение магические квадраты и волшебные кубики, то есть п × п × п × ... × п массив целые числа так, чтобы суммы чисел на каждом столбе (по любой оси), а также на главном диагонали пространства все одинаковые. Общая сумма называется магическая константа гиперкуба, иногда обозначается M_k(п). Если магический гиперкуб состоит из чисел 1, 2, ..., п^k, то у него есть магическое число

${ Displaystyle M_ {к} (п) = { гидроразрыва {п (п ^ {к} +1)} {2}}}$.

Для k = 4, магический гиперкуб можно назвать магический тессеракт, с последовательностью магических чисел, заданной OEIS: A021003.

Длина стороны п магического гиперкуба называется его порядок. Четырех-, пяти-, шести-, семи- и восьмимерные магические гиперкубы третьего порядка были построены Дж. Р. Хендрикс.

Мариан Тренклер доказал следующую теорему. п-мерный магический гиперкуб порядка п существует тогда и только тогда, когдап > 1 и п отличается от 2 или п = 1. Конструкция магического гиперкуба следует из доказательства.

В Язык программирования R включает модуль, библиотека (магия), который создаст волшебные гиперкубы любого измерения с п кратное 4.

Волшебные гиперкубы Perfect и Nasik

Если, кроме того, числа на каждом поперечное сечение диагональ также суммируется с магическим числом гиперкуба, гиперкуб называется идеальный магический гиперкуб; в противном случае это называется полусовершенный магический гиперкуб. Число п называется порядком магического гиперкуба.

Приведенное выше определение «совершенного» предполагает, что используется одно из старых определений совершенных волшебных кубиков. Увидеть Классы Magic Cube. Универсальная система классификации гиперкубов (Джон Р. Хендрикс) требует, чтобы для гиперкуба любого измерения все возможные прямые суммируются правильно, чтобы гиперкуб считался идеально магия. Из-за путаницы с термином идеально, насик теперь предпочтительный термин для Любые магический гиперкуб где все сумма возможных линий S. Таким образом Насик был определен К. Планком в 1905 году. Магический гиперкуб насика имеет 1/2(3^п - 1) строки м числа, проходящие через каждый из м^п клетки.

Обозначения

Для того, чтобы держать вещи под рукой, были разработаны специальные обозначения:

• ${ displaystyle left [{} _ {k} i; k in {0, cdots, n-1 }; i in {0, cdots, m-1 } right] }$: позиции в гиперкубе
• ${ Displaystyle left langle {} _ {k} я; к in {0, cdots, n-1 }; i in {0, cdots, m-1 } right rangle}$: вектор через гиперкуб

Примечание. Обозначение позиции также можно использовать для значения в этой позиции. Затем, где это уместно, к нему могут быть добавлены размер и порядок, таким образом формируя: ^п[_kя]_м

Как указано, 'k' проходит через размеры, в то время как координата 'i' проходит через все возможные значения, когда значения 'i' выходят за пределы диапазона, она просто перемещается обратно в диапазон, добавляя или вычитая соответствующие кратные m, как магический гиперкуб находится в n-мерном модульном пространстве.

Между скобками может быть несколько 'k', они не могут иметь одинаковое значение, хотя и в неопределенном порядке, что объясняет равенство:

${ displaystyle left [{} _ {1} i, {} _ {k} j right] = left [{} _ {k} j, {} _ {1} i right]}$

Конечно, при заданном «k» также упоминается одно значение «i».
Когда упоминается конкретное значение координаты, другие значения могут быть приняты как 0, что особенно актуально, когда количество 'k ограничено с помощью pe. # k = 1 как в:

${ displaystyle left [{} _ {k} 1; # k = 1 right] = left [{} _ {k} 1 {} _ {j} 0 ; # k = 1; # j = n-1 right]}$(«осевой» - сосед ${ displaystyle left [{} _ {k} 0 right]}$ )

(# j = n-1 можно не указывать) j теперь проходит через все значения в [0..k-1, k + 1..n-1].

Далее: без ограничений указанные «k» и «i» проходят через все возможные значения, в комбинациях одинаковые буквы принимают одинаковые значения. Таким образом можно указать конкретную строку внутри гиперкуба (см. R-agonal в разделе поиска пути)

Примечание: насколько мне известно, эта нотация еще не является общеупотребительной (?). Гиперкубы обычно не анализируются таким образом.

В дальнейшем: "пермь (0..n-1)"указывает перестановка из n чисел 0..n-1.

строительство

Помимо более специфических конструкций, можно выделить еще два общих способа построения:

Конструкция KnightJump

Эта конструкция обобщает движение шахматных лошадей (векторов ${ Displaystyle langle 1,2 rangle, langle 1, -2 rangle, langle -1,2 rangle, langle -1, -2 rangle}$) к более общим движениям (векторам ${ displaystyle langle {} _ {k} я rangle}$). Метод начинается с позиции P₀ а остальные числа последовательно размещаются на позициях ${ displaystyle V_ {0}}$ далее до тех пор, пока (после m шагов) не будет достигнута позиция, которая уже занята, требуется следующий вектор для поиска следующей свободной позиции. Таким образом, метод задается матрицей n на n + 1:

${ displaystyle [P_ {0}, V_ {0} dots V_ {n-1}]}$

Это позиционирует число 'k' в позиции:

${ Displaystyle P_ {k} = P_ {0} + sum _ {l = 0} ^ {n-1} ((k backslash m ^ {l}) \% m) V_ {l}; quad k = 0 dots m ^ {n} -1.}$

К. Планк приводит в своей статье 1905 г. "Теория Пути Насикс" условия для создания этим методом "Пути Насика" (или современных идеальных) гиперкубов.

Латинская рецептурная конструкция

(модульные уравнения). Этот метод также задается матрицей n на n + 1. Однако на этот раз он умножает вектор n + 1 [x₀,..,Икс_п-1, 1]. После этого умножения результат берется по модулю m для получения n (латинских) гиперкубов:

LPk = ( l = 0∑п-1 LPк, л Иксл + LPk, n )% m

чисел системы счисления m (также называемые "цифры"). На этих LP_k"s"смена цифр"(? т.е. основные манипуляции), как правило, применяются перед этими LP_kобъединены в гиперкуб:

пЧАСм = к = 0∑п-1 LPk мk

Дж. Р. Хендрикс часто использует модульное уравнение, условия для создания гиперкубов различного качества можно найти на http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia в нескольких местах (особенно в p-секции)

Оба метода заполняют гиперкуб числами, прыжок коня гарантирует (при наличии соответствующих векторов), что каждое число присутствует. Латинский рецепт, только если компоненты ортогональны (нет двух цифр, занимающих одинаковое положение)

Умножение

Среди различных способов сложения умножение^[1] можно рассматривать как самый простой из этих методов. В базовое умножение дан кем-то:

пЧАСм1 * пЧАСм2 : п[kя]м1м2 = п[ [[kя2]м1м1п]м2 + [kя2]м2]м1м2

Большинство методов компаундирования можно рассматривать как вариации вышеперечисленных. Поскольку большинство квалификаторов инвариантны относительно умножения, можно, например, разместить любой альтернативный вариант ^пЧАС_м2 в приведенном выше уравнении, помимо результата, можно применить манипуляции для улучшения качества. Таким образом, можно уточнить удвоение Дж. Р. Хендрикса / М. Тренклара. Эти вещи выходят за рамки данной статьи.

Аспекты

Гиперкуб знает п! 2^п Аспектные варианты, полученные путем координатного отражения ([_ki] -> [_k(-i)]) и перестановки координат ([_ki] -> [_{пермь [к]}i]) фактически дает Аспектный вариант:

пЧАСм~ R доп. (0..n-1); R = к = 0∑п-1 ((отразить (k))? 2k : 0); perm (0..n-1) перестановка 0..n-1

Где отражать (k) истина, если и только если координата k отражается, только тогда 2^k добавляется к R.Как нетрудно заметить, можно отразить только n координат, объясняя 2^п, тогда! перестановка n координат объясняет другой фактор в общем количестве «Аспектных вариантов»!

Аспектные варианты обычно считаются равными. Таким образом, любой гиперкуб можно представить в виде "нормальное положение" от:

[k0] = мин ([kθ; θ ε {-1,0}]) (отражением) [k1; # k = 1] <[к + 11; # k = 1]; k = 0..n-2 (перестановкой координат)

(здесь явно указано: [_k0] минимум всех угловых точек. Осевой сосед последовательно на основе осевого номера)

Основные манипуляции

Помимо более специфических манипуляций, следующие имеют более общий характер.

• # [доп. (0..n-1)] : перестановка компонентов
• ^ [разрешить (0..n-1)] : перестановка координат (n == 2: транспонировать)
• _2^ось[пермь (0..м-1)] : моногональная перестановка (ось ε [0..n-1])
• = [разрешить (0..m-1)] : изменение цифры

Примечание. '#', '^', '_' И '=' являются неотъемлемой частью записи и используются в качестве селекторов манипуляции.

Перестановка компонентов

Определяется как обмен компонентов с изменением коэффициента m^k в м^{пермь (к)}, поскольку имеется n компонентных гиперкубов, перестановка выполняется по этим n компонентам

Перестановка координат

Обмен координатами [_kя] в [_{пермь (к)}i], поскольку из-за n координат требуется перестановка по этим n направлениям.
Период, термин транспонировать (обычно обозначается ^т) используется с двумерными матрицами, хотя, возможно, предпочтительнее "перестановка координат".

Монагональная перестановка

Определяется как изменение [_kя] в [_kпермь (я)] рядом с заданным «осевым» направлением. Равные перестановки по разным осям можно объединить, добавив множители 2^ось. Таким образом, определяя все виды r-агональных перестановок для любого r. Легко видеть, что все возможности даются соответствующей перестановкой m чисел.

Примечательно, что отражение это особый случай:

~ R = _R [n-1, .., 0]

Далее, когда все оси претерпевают одинаковую перестановку (R = 2^п-1) an n-агональная перестановка достигается, в этом особом случае буква R обычно опускается, поэтому:

_ [допустимо (0..n-1)] = _ (2п-1) [доп. (0..n-1)]

Изменение цифр

Обычно применяется на уровне компонентов и может рассматриваться как указано в [_kя] в пермь ([_kя]), поскольку компонент заполнен цифрами с основанием системы счисления m, перестановка над m числами является подходящим способом для их обозначения.

Следопыты

Дж. Р. Хендрикс назвал направления внутри гиперкубов "первопроходцы"эти направления проще всего обозначить в троичной системе счисления как:

Pfп где: p = к = 0∑п-1 (kя + 1) 3k <==> <kя>; я ε {-1,0,1}

Это дает 3^п направления. так как каждое направление проходит в обе стороны, можно ограничиться верхней половиной [(3^п-1)/2,..,3^п-1)] всего диапазона.

С помощью этих указателей пути можно указать любую строку, по которой нужно суммировать (или r-агональную):

[ j0 kп лq; # j = 1 # k = r-1; k> j] < j1 kθ л0; θ ε {-1,1}>; p, q ε [0, .., m-1]

который определяет все (разорванные) r-агонали, диапазоны p и q могут быть опущены в этом описании. Таким образом, основные (неразрывные) r-агоналы даются небольшой модификацией приведенного выше:

[ j0 k0 л-1 sп ; # j = 1 # k + # l = r-1; k, l> j] < j1 k1 л-1 s0 >

Квалификация

Гиперкуб ^пЧАС_м с числами в аналитическом диапазоне чисел [0..m^п-1] имеет магическую сумму:

пSм = м (мп - 1) / 2.

Помимо более конкретных квалификаций, наиболее важными являются следующие: "суммирование", конечно, означает "правильное суммирование к магической сумме".

• {р-агональный}: суммируются все основные (непрерывные) r-агоналы.
• {пан-агональный}: суммируются все (неразбитые и сломанные) r-агоналы.
• {магия}: {1-агональный н-агональный}
• {идеально}: {пан р-агональный; r = 1..n}

Примечание: эта серия не начинается с 0, поскольку не существует агональной нити, цифры соответствуют обычному обзыванию: 1-агональная = моногональная, 2-агональная = диагональная, 3-агональная = треугольная и т. Д. Помимо этого число соответствует количеству «-1» и «1» в соответствующем навигационном указателе.

В случае, если гиперкуб также суммируется, когда все числа возведены в степень p, получается p-мультимагические гиперкубы. Вышеуказанные квалификаторы просто добавляются к квалификатору p-multimagic. Это определяет квалификации как {r-agonal 2-magic}. Здесь также «2-» обычно заменяется на «bi», «3-» на «tri» и т. Д. («1-magic» будет «мономагическим», но «моно» обычно опускается). Сумма для гиперкубов p-Multimagic может быть найдена с помощью Формула Фаульхабера и разделим на m^п-1.

Также обычно предполагается "магия" (т. Е. {1-агональный n-агональный}), Куб Трампа / Бойера {диагональ} технически рассматривается как {1-агональный 2-агональный 3-агональный}.

Насик магический гиперкуб приводит аргументы в пользу использования {насик} как синоним {идеально}. Однако странное обобщение квадратного слова «совершенный» на использование его как синонима {диагонали} в кубах также разрешается путем помещения в фигурные скобки квалификаторов, так что {идеально} означает {пан р-агональный; r = 1..n} (как упоминалось выше).

некоторые второстепенные квалификации:

• {^пкомпактный}: {сумма всех субгиперкубов порядка 2 равна 2^{п п}S_м / м}
• {^пполный}: {все пары делят пополам n-агональную сумму, равную (to (m^п - 1)}

{^пкомпактный} можно записать так: _(k)∑ [_jя + _k1] = 2^{п п}S_м / м.
{^пполный} можно просто записать как: [_ji] + [_jя + _k(м / 2); # k = n] = m^п - 1.
Куда:
_(k)∑ символично для суммирования всех возможных k, есть 2^п возможности для _k1.
[_jя + _k1] выражает [_ji] и всех его r-агональных соседей.
для {полного} дополнение [_ji] находится в позиции [_jя + _k(м / 2); # k = n].

для квадратов: {²компактный ²полный} - это «современная / альтернативная квалификация» того, что Дама Кэтлин Оллереншоу называется самый совершенный магический квадрат, {^пкомпактный ^пcomplete} - это квалификатор для функции более чем в двух измерениях.
Предупреждение: некоторые люди, кажется, приравнивают {компактный} к {²compact} вместо {^пкомпактный}. Поскольку эта вводная статья - не место для обсуждения подобных вопросов, я добавил размерный верхний индекс. ^п к обоим этим квалификаторам (которые определены, как показано)
последствия {^пcompact} состоит в том, что несколько фигур также суммируются, поскольку они могут быть сформированы путем сложения / вычитания суб-гиперкубов порядка 2. Подобные вопросы выходят за рамки данной статьи.

Смотрите также

• Магический гиперпучок

использованная литература

дальнейшее чтение

• Дж. Р. Хендрикс: Magic Squares to Tesseract by Computer, самоиздан, 1998, 0-9684700-0-9
• Планк, К., M.A., M.R.C.S., Theory of Paths Nasik, 1905, напечатано для частного обращения. Вступительное письмо к статье

внешние ссылки

• Магическая энциклопедия Статьи Аале де Винкеля
• Волшебные кубики и гиперкубы - ссылки Собрана Мариан Тренклер
  • Алгоритм изготовления волшебных кубиков Мариан Тренклер
• multimagie.com Статьи Кристиана Бойера
• magichypercube.com Генератор волшебного куба