Модель с несколькими отсеками - Multi-compartment model

А многокамерная модель это тип математическая модель используется для описания способа передачи материалов или энергии между отсеки системы. Каждый отсек считается однородным объектом, внутри которого моделируемые объекты эквивалентны. Например, в фармакокинетической модели отсеки могут представлять разные части тела, в которых предполагается, что концентрация лекарственного средства одинаково одинакова.

Следовательно, модель с несколькими отсеками - это сосредоточенные параметры модель.

Многосекционные модели используются во многих областях, включая фармакокинетика, эпидемиология, биомедицина, теория систем, теория сложности, инженерия, физика, информатика и социальные науки. Системы цепей также можно рассматривать как многокамерную модель.

В теории систем это включает описание сети, компоненты которой являются отсеками, которые представляют совокупность элементов, эквивалентных по способу обработки входных сигналов в отсек.

• Мгновенное однородное распределение материалов или энергии в «отсеке».
• Скорость обмена материалов или энергии между отсеками связана с плотностью этих отсеков.
• Обычно желательно, чтобы материалы не подвергались химическим реакциям при передаче между отсеками.
• Когда концентрация клетки представляет интерес, обычно предполагается, что объем остается постоянным во времени, хотя в действительности это может быть не совсем так.

Чаще всего математика многокомпонентных моделей упрощается, чтобы предоставить только один параметр - например, концентрацию - в пределах одного отсека.

Однокамерная модель

Возможно, самое простое применение модели с несколькими отсеками - это мониторинг концентрации отдельных клеток (см. Рисунок выше). Если объем ячейки равен V, то масса из растворенное вещество является q, вход ты(т), а секреция раствора пропорциональна его плотности внутри клетки, то концентрация раствора C внутри ячейки с течением времени определяется выражением

${displaystyle {frac {mathrm {d} q} {mathrm {d} t}} = u (t) -kq}$

${displaystyle C = {frac {q} {V}}}$

куда k пропорциональность.

Модель с несколькими отсеками

По мере увеличения количества отсеков модель может быть очень сложной, а решения обычно выходят за рамки обычного расчета.

Формулы для n-ячейка многокамерные модели становятся:

${displaystyle {egin {align} {dot {q}} _ {1} = q_ {1} k_ {11} + q_ {2} k_ {12} + cdots + q_ {n} k_ {1n} + u_ {1) } (t) {точка {q}} _ {2} = q_ {1} k_ {21} + q_ {2} k_ {22} + cdots + q_ {n} k_ {2n} + u_ {2} ( t) vdots {точка {q}} _ {n} = q_ {1} k_ {n1} + q_ {2} k_ {n2} + cdots + q_ {n} k_ {nn} + u_ {n} ( t) конец {выровнен}}}$

Где

${displaystyle 0 = sum _ {i = 1} ^ {n} {k_ {ij}}}$ за ${displaystyle j = 1,2, dots, n}$ (поскольку общее «содержимое» всех отсеков в закрытой системе постоянно)

Или в матричных формах:

${displaystyle mathbf {точка {q}} = mathbf {Kq} + mathbf {u}}$

Где

${displaystyle mathbf {K} = {egin {bmatrix} k_ {11} & k_ {12} & cdots & k_ {1n} k_ {21} & k_ {22} & cdots & k_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots k_ {n1} & k_ {n2} & cdots & k_ {nn} end {bmatrix}} mathbf {q} = {egin {bmatrix} q_ {1} q_ {2} vdots q_ {n} end {bmatrix}} mathbf {u} = {egin {bmatrix} u_ {1} (t) u_ {2} (t) vdots u_ {n} (t) end {bmatrix}}}$ и ${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 end {bmatrix}} mathbf {K} = {egin {bmatrix} 0 & 0 & cdots & 0 end {bmatrix}}}$ (поскольку общее «содержимое» всех отсеков в закрытой системе постоянно)

В частном случае замкнутой системы (см. Ниже), т.е. когда ${displaystyle mathbf {u} = 0}$ тогда есть общее решение.

${displaystyle mathbf {q} = c_ {1} e ^ {lambda _ {1} t} mathbf {v_ {1}} + c_ {2} e ^ {lambda _ {2} t} mathbf {v_ {2}} + cdots + c_ {n} e ^ {lambda _ {n} t} mathbf {v_ {n}}}$

Где ${displaystyle lambda _ {1}}$, ${displaystyle lambda _ {2}}$, ... и ${displaystyle lambda _ {n}}$ являются собственные значения из ${displaystyle mathbf {K}}$; ${displaystyle mathbf {v_ {1}}}$, ${displaystyle mathbf {v_ {2}}}$, ... и ${displaystyle mathbf {v_ {n}}}$ соответствующие собственные векторы из ${displaystyle mathbf {K}}$; и ${displaystyle c_ {1}}$, ${displaystyle c_ {2}}$, .... и ${displaystyle c_ {n}}$ являются константами.

Однако можно показать, что с учетом вышеуказанного требования обеспечить постоянство «содержимого» замкнутой системы, тогда для каждой пары собственное значение и собственный вектор тогда либо ${displaystyle lambda = 0}$ или же ${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 end {bmatrix}} mathbf {v} = 0}$ а также тот собственное значение равно 0, скажем ${displaystyle lambda _ {1}}$

Так

${displaystyle mathbf {q} = c_ {1} mathbf {v_ {1}} + c_ {2} e ^ {lambda _ {2} t} mathbf {v_ {2}} + cdots + c_ {n} e ^ { лямбда _ {n} t} mathbf {v_ {n}}}$

Где

${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 end {bmatrix}} mathbf {v_ {i}} = 0}$ за ${displaystyle mathbf {i} = 2,3, точек n}$

Это решение можно переставить:

${displaystyle mathbf {q} = {Bigg [} mathbf {v_ {1}} {egin {bmatrix} c_ {1} & 0 & cdots & 0 end {bmatrix}} + mathbf {v_ {2}} {egin {bmatrix} 0 & c_ { 2} & cdots & 0 end {bmatrix}} + dots + mathbf {v_ {n}} {egin {bmatrix} 0 & 0 & cdots & c_ {n} end {bmatrix}} {Bigg]} {egin {bmatrix} 1 e ^ { лямбда _ {2} t} vdots e ^ {лямбда _ {n} t} end {bmatrix}}}$

Это несколько неэлегантное уравнение демонстрирует, что все решения n-ячейка многокамерные модели с постоянными входами или без них имеют вид:

${displaystyle mathbf {q} = mathbf {A} {egin {bmatrix} 1 e ^ {lambda _ {2} t} vdots e ^ {lambda _ {n} t} end {bmatrix}}}$

Где ${displaystyle mathbf {A}}$ это nxn матрица и ${displaystyle lambda _ {2}}$, ${displaystyle lambda _ {3}}$, ... и ${displaystyle lambda _ {n}}$ являются константами. ${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 end {bmatrix}} mathbf {A} = {egin {bmatrix} a & 0 & cdots & 0 end {bmatrix}}}$

Топологии моделей

Вообще говоря, по мере увеличения количества отсеков становится сложно найти как алгебраические, так и численные решения модели. Однако есть частные случаи моделей, которые редко существуют в природе, когда топологии демонстрируют определенные закономерности, решения которых становится легче найти. Модель можно классифицировать по взаимосвязи ячеек и входным / выходным характеристикам:

1. Закрытая модель: Нет раковин или источников, горит. все k_ой = 0 и ты_я = 0;
2. Открытая модель: Среди ячеек есть стоки и / или источники.
3. Контактная модель: Все отсеки организованы в цепочку, причем каждый пул соединяется только со своими соседями. Эта модель имеет две и более ячеек.
4. Циклическая модель: Это особый случай модели цепной связи с тремя или более ячейками, в которых первая и последняя ячейки связаны, т.е. k_1п ≠ 0 или / и k_п1 ≠ 0.
5. Маммиллярная модель: Состоит из центрального отделения с подключенными к нему периферийными отделениями. Между другими отсеками нет никаких взаимосвязей.
6. Сводимая модель: Это набор несвязанных моделей. Это очень похоже на компьютерную концепцию лес в отличие от деревья.

Смотрите также

• Математическая модель
• Биомедицинская инженерия
• Биологические модели нейронов
• Компартментные модели в эпидемиологии
• Фармакокинетическое моделирование на физиологической основе

Рекомендации

• Годфри, К., Компартментные модели и их применение, Academic Press, 1983 (ISBN  0-12-286970-2).
• Андерсон, Д. Х., Компартментное моделирование и трассерная кинетика, Springer-Verlag Lecture Notes по биоматематике # 50, 1983 (ISBN  0-387-12303-2).
• Жакес, Дж. А, Компартментный анализ в биологии и медицине, 2-е изд., Издательство Мичиганского университета, 1985.
• Эванс, У. К., Линейные системы, компартментальное моделирование и вопросы оценки в исследованиях качества воздуха в помещении, в Тихенор, Б., Характеристика источников загрязнения воздуха внутри помещений и связанных с ними воздействий раковин, ASTM STP 1287, стр. 239–262, 1996 (ISBN  0-8031-2030-3).