Мультипликативная последовательность - Википедия - Multiplicative sequence

В математика, а мультипликативная последовательность или же м-последовательность это последовательность из многочлены связанный с формальным группа структура. У них есть применение в кольцо кобордизма в алгебраическая топология.

Определение

Позволять K_п быть полиномами над звенеть А в неопределенных п₁, ... взвешены так, чтобы п_я имеет вес я (с п₀ = 1) и все члены в K_п иметь вес п (так что K_п является многочленом от п₁, ..., п_п). Последовательность K_п является мультипликативный если личность

${ displaystyle sum _ {i} p_ {i} z ^ {i} = sum _ {i} p '_ {i} z ^ {i} cdot sum _ {i} p' '_ {i } z ^ {i}}$

подразумевает

${ displaystyle sum _ {i} K_ {i} (p_ {1}, ldots, p_ {i}) z ^ {i} = sum _ {j} K_ {j} (p '_ {1} , ldots, p '_ {j}) z ^ {j} cdot sum _ {k} K_ {k} (p' '_ {1}, ldots, p' '_ {k}) z ^ {k}}$

Другими словами, ${ Displaystyle p mapsto K (p)}$ требуется быть эндоморфизм мультипликативного моноид ${ Displaystyle (А [[Х]], cdot)}$.

В степенной ряд

${ displaystyle sum K_ {n} (1,0, ldots, 0) z ^ {n}}$

это характеристический степенной ряд изK_п. Мультипликативная последовательность определяется ее характеристическим степенным рядом Q(z), и каждый степенной ряд с постоянным членом 1 дает мультипликативную последовательность.

Чтобы восстановить мультипликативную последовательность из характеристического степенного ряда Q(z) считаем коэффициент при z^j в продукте

${ Displaystyle prod _ {я = 1} ^ {м} Q ( бета _ {я} г) }$

для любогом > j. Это симметрично в β_я однородный по весу j: так можно выразить как полином K_j(п₁, ..., п_j) в элементарные симметричные функции п изβ. потом K_j определяет мультипликативную последовательность.

Примеры

Например, последовательность K_п = п_п мультипликативен и имеет характеристический степенной ряд 1 +z.

Рассмотрим степенной ряд

${ displaystyle Q (z) = { frac { sqrt {z}} { tanh { sqrt {z}}}} = 1- sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {2 ^ {2k}} {(2k)!}} B_ {k} z ^ {k} }$

куда B_k это k-го Число Бернулли. Мультипликативная последовательность с Q как характеристический степенной ряд обозначается L_j(п₁, ..., п_j).

Мультипликативная последовательность с характеристическим степенным рядом

${ displaystyle Q (z) = { frac {2 { sqrt {z}}} { sinh 2 { sqrt {z}}}} }$

обозначается А_j(п₁,...,п_j).

Мультипликативная последовательность с характеристическим степенным рядом

${ displaystyle Q (z) = { frac {z} {1- exp (-z)}} = 1 + { frac {x} {2}} - sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {B_ {k}} {(2k)!}} z ^ {2k} }$

обозначается Т_j(п₁,...,п_j): эти Полиномы Тодда.

Род

В род мультипликативной последовательности является кольцевой гомоморфизм, от кольцо кобордизма гладко ориентированных компактные многообразия на другое кольцо, обычно на кольцо рациональное число.

Например, Род Тоддов связана с полиномами Тодда с характеристическим степенным рядом ${ displaystyle { frac {z} {1- exp (-z)}}}$.

Рекомендации

• Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии. Классика по математике. Перевод с немецкого и приложение первое Р. Л. Э. Шварценбергера. Приложение второе А. Бореля (Перепечатка 2-го, кор. Оттиск. 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-58663-6. Zbl  0843.14009.