Соседний многогранник - Neighborly polytope

В геометрия и многогранная комбинаторика, а k-соседский многогранник это выпуклый многогранник в котором каждый набор k или меньшее количество вершин образуют грань. Например, 2-соседний многогранник - это многогранник, в котором каждая пара вершины связан край, образуя полный график. 2-соседние многогранники с более чем четырьмя вершинами могут существовать только в пространствах четырех или более измерений, и в общем случае k-соседний многогранник (кроме симплекса) требует размерности 2k или больше. А d-суплекс является d-соседски. Многогранник называется соседним без указания k, если это k-соседский для ${ Displaystyle к = lfloor d / 2 rfloor}$. Если исключить симплексы, это максимально возможное k: фактически, каждый многогранник k-соседский для некоторых ${ Displaystyle к geq 1+ lfloor d / 2 rfloor}$ это симплекс.^[1]

В k-соседний многогранник с k ≥ 3 каждая двумерная грань должна быть треугольником, а в k-соседний многогранник с k ≥ 4, каждая 3-грань должна быть тетраэдром. В общем, в любом k-соседний многогранник, все грани размерности меньше k находятся симплексы.

В циклические многогранники образованные как выпуклые оболочки конечных множеств точек на кривая момента (т, т², ..., т^d) в d-мерное пространство автоматически соседствует. Теодор Моцкин предположил, что все соседние многогранники комбинаторно эквивалентны циклическим многогранникам.^[2] Однако, вопреки этой гипотезе, существует много соседних многогранников, которые не являются циклическими: количество комбинаторно различных соседних многогранников сверхэкспоненциально растет как по числу вершин многогранника, так и по размерности.^[3]

В выпуклый корпус набора случайных точек, взятых из Гауссово распределение с количеством точек, пропорциональным размерности, с большой вероятностью k-соседний по стоимости k это также пропорционально размеру.^[4]

Количество граней всех измерений соседнего многогранника в четном числе измерений определяется исключительно из его размерности и количества вершин по Уравнения Дена – Соммервилля: количество k-мерные грани, ж_k, удовлетворяет неравенству

${ displaystyle f_ {k-1} leq sum _ {i = 0} ^ {d / 2} {} ^ {*} left ({ binom {di} {ki}} + { binom {i } {k-d + i}} right) { binom {nd-1 + i} {i}},}$

где звездочка означает, что суммы заканчиваются на ${ Displaystyle я = lfloor d / 2 rfloor}$ и окончательный срок суммы должен быть уменьшен вдвое, если d даже.^[5] Согласно теорема о верхней оценке из Макмаллен (1970),^[6] соседние многогранники достигают максимально возможного числа граней любого п-вертекс d-мерный выпуклый многогранник.

Обобщенная версия проблема счастливого конца применяется к многомерным точечным наборам и подразумевает, что для каждого измерения d и каждый п > d существует номер м(d,п) со свойством, что каждый м указывает в общая позиция в d-мерное пространство содержит подмножество п точки, образующие вершины соседнего многогранника.^[7]

Рекомендации