Полином порядка - Order polynomial

В порядковый полином это многочлен изучал математику, в частности алгебраическая теория графов и алгебраическая комбинаторика. Полином порядка подсчитывает количество сохраняющих порядок отображений из посеть к цепь длины ${ displaystyle n}$. Эти сохраняющие порядок отображения были впервые введены Ричард П. Стэнли при изучении упорядоченных конструкций и перегородок в докторантуре. студент на Гарвардский университет в 1971 г. под руководством Джан-Карло Рота.

Определение

Позволять ${ displaystyle P}$ быть конечный посеть с ${ displaystyle p}$ обозначенные элементы ${ displaystyle x, y in P}$, и разреши ${ Displaystyle [п] = {1 <2 < ldots <п }}$ быть цепь ${ displaystyle n}$ элементы. Карта ${ displaystyle phi: P to [n]}$ сохраняет порядок, если ${ displaystyle x leq y}$ подразумевает ${ Displaystyle фи (х) leq фи (у)}$. Количество таких отображений полиномиально растет с увеличением ${ displaystyle n}$, а функция, подсчитывающая их количество, - это порядковый полином ${ Displaystyle Omega (n) = Omega (P, n)}$.

Точно так же мы можем определить порядковый полином, который подсчитывает количество строго сохраняющие порядок карты ${ displaystyle phi: P to [n]}$, смысл ${ Displaystyle х <у}$ подразумевает ${ Displaystyle фи (х) < фи (у)}$. Количество таких карт равно полином строгого порядка ${ Displaystyle Omega ^ { circ} ! (n) = Omega ^ { circ} ! (P, n)}$.^[1]

Обе ${ Displaystyle Omega (п)}$ и ${ Displaystyle Omega ^ { circ} ! (п)}$ иметь степень ${ displaystyle p}$. Карты, сохраняющие порядок, обобщают линейные расширения из ${ displaystyle P}$, сохраняющие порядок биекции ${ displaystyle phi: P { stackrel { sim} { longrightarrow}} [p]}$. Фактически, старший коэффициент ${ Displaystyle Omega (п)}$ и ${ Displaystyle Omega ^ { circ} ! (п)}$ количество линейных расширений, деленное на ${ displaystyle p!}$.

Примеры

Сдача ${ displaystyle P}$ быть цепь из ${ displaystyle p}$ элементы, у нас есть

${ Displaystyle Омега (п) = { binom {п + к-1} {р}} = влево (! влево ({п на вершине р} вправо) ! вправо)}$ и ${ displaystyle Omega ^ { circ} (n) = { binom {n} {p}}.}$

Существует только одно линейное расширение (тождественное отображение), и оба многочлена имеют главный член ${ displaystyle { tfrac {1} {p!}} n ^ {p}}$.

Сдача ${ displaystyle P}$ быть антицепь из ${ displaystyle p}$ несравнимые элементы, у нас есть ${ Displaystyle Omega (n) = Omega ^ { circ} (n) = n ^ {p}}$. Поскольку любая биекция ${ displaystyle phi: P { stackrel { sim} { longrightarrow}} [p]}$ (строго) сохраняющий порядок, есть ${ displaystyle p!}$ линейные расширения, и оба полинома сводятся к главному члену ${ displaystyle { tfrac {p!} {p!}} n ^ {p} = n ^ {p}}$.

Теорема взаимности

Существует связь между картами, строго сохраняющими порядок, и картами, сохраняющими порядок:^[2]

${ Displaystyle Omega ^ { circ} (n) = (- 1) ^ {| P |} Omega (-n).}$

В случае, если ${ displaystyle P}$ цепь, это восстанавливает отрицательная биномиальная идентичность. Есть аналогичные результаты для хроматический полином и Многочлен Эрхарта (см. ниже), все частные случаи общей Теорема взаимности.^[3]

Связи с другими счетными многочленами

Хроматический полином

В хроматический полином ${ Displaystyle P (G, n)}$считает количество правильных раскраски конечного график ${ displaystyle G}$ с ${ displaystyle n}$ доступные цвета. Для ациклическая ориентация ${ displaystyle sigma}$ краев ${ displaystyle G}$, на вершинах существует естественный частичный порядок "ниже по потоку" ${ Displaystyle V (G)}$ подразумевается основными отношениями ${ displaystyle u> v}$ в любое время ${ displaystyle u rightarrow v}$ направленный край ${ displaystyle sigma}$. (Таким образом Диаграмма Хассе чугуна является подграфом ориентированного графа ${ displaystyle sigma}$.) Мы говорим ${ Displaystyle phi: V (G) rightarrow [п]}$ совместим с ${ displaystyle sigma}$ если ${ displaystyle phi}$ сохраняет порядок. Тогда у нас есть

${ Displaystyle P (G, N) = сумма _ { sigma} Omega ^ { circ} ! ( sigma, n),}$

куда ${ displaystyle sigma}$ пробегает все ациклические ориентации ГРАММ, рассматриваются как структуры poset.^[4]

Порядковый многогранник и многочлен Эрхарта

В порядковый многогранник ассоциирует многогранник с частичным заказом. Для посета ${ displaystyle P}$ с ${ displaystyle p}$ элементы, многогранник порядка ${ Displaystyle O (P)}$ - множество сохраняющих порядок отображений ${ displaystyle f: P to [0,1]}$, куда ${ Displaystyle [0,1] = {т ин mathbb {R} середина 0 Leq т Leq 1 }}$ - упорядоченный единичный интервал, непрерывный цепной ч.^[5][6] Более геометрически мы можем перечислить элементы ${ Displaystyle P = {x_ {1}, ldots, x_ {p} }}$, и определить любое отображение ${ displaystyle f: P to mathbb {R}}$ с точкой ${ Displaystyle (е (x_ {1}), ldots, f (x_ {p})) in mathbb {R} ^ {p}}$; то многогранник порядка - это множество точек ${ displaystyle (t_ {1}, ldots, t_ {p}) in [0,1] ^ {p}}$ с ${ displaystyle t_ {i} leq t_ {j}}$ если ${ displaystyle x_ {i} leq x_ {j}}$.^[7]

В Многочлен Эрхарта считает количество целочисленная решетка точки внутри дилатации многогранник. В частности, рассмотрим решетку ${ Displaystyle L = mathbb {Z} ^ {п}}$ и ${ displaystyle d}$-мерный многогранник ${ Displaystyle К подмножество mathbb {R} ^ {d}}$ с вершинами в ${ displaystyle L}$; затем мы определяем

${ Displaystyle L (К, п) = # (пК крышка L),}$

количество точек решетки в ${ displaystyle nK}$, расширение ${ displaystyle K}$ положительным целым скаляром ${ displaystyle n}$. Ehrhart показал, что это рациональный многочлен степени ${ displaystyle d}$ в переменной ${ displaystyle n}$, при условии ${ displaystyle K}$ имеет вершины в решетке.^[8]

Фактически, многочлен Эрхарта многогранника порядка равен многочлену порядка исходного чугуна (со смещенным аргументом):^[7][9]

${ Displaystyle L (O (P), n) = Omega (P, n {+} 1).}$

Это непосредственное следствие определений, учитывая вложение ${ displaystyle (п {+} 1)}$-сеть посет ${ Displaystyle [п {+} 1] = {0 <1 < cdots <п } подмножество mathbb {R}}$.

Рекомендации