Перфектоидное пространство - Perfectoid space

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июль 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, перфектоидные пространства находятся адические пространства особого рода, возникающие при изучении проблем "смешанная характеристика ", Такие как местные поля нулевой характеристики, которые имеют поля остатков характерного простого п.

А перфектоидное поле это полный топологическое поле K топология которого индуцируется недискретным оценка ранга 1 такой, что Эндоморфизм Фробениуса Φ сюръективен на K°/п куда K° обозначает кольцо степенно ограниченных элементов.

Перфектоидные пространства могут использоваться (и были изобретены для того, чтобы сравнивать смешанные характеристические ситуации с чисто конечными характеристическими ситуациями). Технические инструменты для уточнения этой точности - это эквивалентность наклона и теорема почти чистоты. Понятия были введены в 2012 г. Питер Шольце.^[1]

Эквивалентность наклона

Для любого перфектоидного поля K Существует наклон K^♭, представляющее собой перфектоидное поле конечной характеристики п. Как набор его можно определить как

${ displaystyle K ^ { flat} = varprojlim _ {x mapsto x ^ {p}} K}$

Явно элемент K^♭ бесконечная последовательность (Икс₀, Икс₁, Икс₂, ...) элементов K такой, что Икс_я = Икс^п
_{я + 1}. Умножение в K^♭ определяется почленно, сложение сложнее. Если K имеет конечную характеристику, то K ≅ K^♭. Если K это п-адический завершение из ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p} (p ^ {1 / p ^ { infty}})}$, тогда K^♭ это т-адическое завершение ${ displaystyle mathbb {F} _ {p} ((t)) (t ^ {1 / p ^ { infty}})}$.

Есть понятия перфектоидные алгебры и перфектоидные пространства над полем перфектоидов K, примерно аналогично коммутативному алгебры и схемы над полем. На эти объекты распространяется действие наклона. Если Икс перфектоидное пространство над перфектоидным полем K, то можно образовать перфектоидное пространство Икс^♭ над K^♭. В эквивалентность наклона - это теорема о том, что функтор наклона (-)^♭ вызывает эквивалентность категорий между перфектоидными пространствами над K и перфектоидные пространства над K^♭. Обратите внимание, что хотя перфектоидное поле конечной характеристики может иметь несколько неизоморфных «доц», все категории перфектоидных пространств над ними будут эквивалентны.

Теорема почти чистоты

Эта эквивалентность категорий учитывает некоторые дополнительные свойства морфизмов. Многие свойства морфизмы схем имеют аналоги для морфизмов адических пространств. В теорема почти чистоты для перфектоидных пространств касается конечный этальные морфизмы. Это обобщение Опалубки теорема о почти чистоте в п-адическая теория Ходжа. Название ссылается на почти математика, которое используется в доказательстве, и далекой классической теоремы о чистота ветвления локуса.^[2]

Заявление состоит из двух частей. Позволять K быть перфектоидным полем.

• Если Икс → Y является конечным этальным морфизмом адических пространств над K и Y перфектоид, то Икс также перфектоид;
• Морфизм Икс → Y перфектоидных пространств над K конечна этальна тогда и только тогда, когда наклон Икс^♭ → Y^♭ конечна этальна над K^♭.

Поскольку конечные этальные отображения в поле в точности конечны отделяемый расширения полей, из теоремы о почти чистоте следует, что для любого перфектоидного поля K в абсолютные группы Галуа из K и K^♭ изоморфны.

Смотрите также

• Идеальное поле

Рекомендации

внешняя ссылка

• Бхатт, Бхаргав. "Что такое ... Перфектоидное пространство?" (PDF). Бюллетень АПП. Получено 2 января 2020.
• "Что такое" перфектоидные пространства "?". MathOverflow.
• Основы перфектоидных пространств Мэтью Морроу
• Скудные перфектоидные пространства. Определение перфектоидных пространств, формализованное в Доказательство теорем бережливого производства