Теорема Полькеса - Википедия - Pohlkes theorem

Теорема Польке основная теорема аксонометрия. Он был основан в 1853 году немецким художником и педагогом. начертательная геометрия Карл Вильгельм Польке. Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1864 г. немецким математиком. Герман Амандус Шварц, который был учеником Польке. Поэтому теорему иногда называют Теорема Польке и Шварца, тоже.

Теорема

Теорема Польке

• Три произвольных отрезка линии ${ displaystyle { overline {O}} { overline {U}}, { overline {O}} { overline {V}}, { overline {O}} { overline {W}}}$ в плоскости, исходящей из точки ${ displaystyle { overline {O}}}$, которые не содержатся в строке, можно рассматривать как параллельная проекция трех граней ${ displaystyle OU, OV, OW}$ из куб.

Для отображения единичного куба необходимо применить дополнительное масштабирование либо в пространстве, либо на плоскости. Поскольку параллельная проекция и масштабирование сохраняют отношения, можно отобразить произвольную точку ${ Displaystyle P = (х, y, z)}$ с помощью аксонометрической процедуры ниже.

Теорема Польке может быть сформулирована в терминах линейной алгебры как:

• Любой аффинное отображение трехмерного пространства на плоскость можно рассматривать как композицию сходство и параллельная проекция.^[1]

Приложение к аксонометрии

принцип аксонометрической проекции

Теорема Польке является обоснованием следующей простой процедуры построения масштабированной параллельной проекции трехмерного объекта с использованием координат:^[2][3]

1. Выбирайте изображения осей координат, не содержащиеся в строке.
2. Выберите любую ось координат для укорочения ${ displaystyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}> 0.}$
3. Изображение ${ displaystyle { overline {P}}}$ точки ${ Displaystyle P = (х, y, z)}$ определяется тремя шагами, начиная с точки ${ displaystyle { overline {O}}}$:

идти ${ displaystyle v_ {x} cdot x}$ в ${ displaystyle { overline {x}}}$-направление, то

идти ${ displaystyle v_ {y} cdot y}$ в ${ displaystyle { overline {y}}}$-направление, то

идти ${ displaystyle v_ {z} cdot z}$ в ${ displaystyle { overline {z}}}$-направление и

4. отметьте точку как ${ displaystyle { overline {P}}}$.

Для получения неискаженных изображений необходимо тщательно выбирать изображения осей и их укорачивания (см. Аксонометрия ). Чтобы получить орфографическая проекция свободны только изображения осей и определены укорочения. (видеть de: orthogonale Axonometrie ).

Замечания к доказательству Шварца

Шварц сформулировал и доказал более общее утверждение:

• Вершины любого четырехугольник можно рассматривать как косую параллельную проекцию вершин тетраэдр то есть похожий к данному тетраэдру.^[4]

и использовал теорему L’Huilier:

• Каждый треугольник можно рассматривать как ортогональную проекцию треугольника заданной формы.

Примечания

Рекомендации

• К. Польке: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Гертнер-Верлаг, Берлин 1876 г. (Google Книги.)
• Шварц, Х.А.:Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie, Дж. Reine Angew. Математика. 63, 309–314, 1864.
• Арнольд Эмч: Доказательство теоремы Польке и ее обобщений по аффинности, Американский журнал математики, Vol. 40, No. 4 (октябрь 1918 г.), стр. 366–374

внешняя ссылка

• Ф. Кляйн: Основная теорема Польке, в Элементарная математика с высшей точки зрения: Том II: Геометрия, п. 97,
• Кристоф Скриба, Питер Шрайбер: 5000 лет геометрии: математика в истории и культуре, стр. 398.
• Теорема Польке – Шварца, Энциклопедия математики.