Личность Похожаевых - Википедия - Pokhozhaevs identity

Личность Похожаева является интегральным соотношением, которому удовлетворяет стационарный локализованные решения к нелинейное уравнение Шредингера или же нелинейное уравнение Клейна – Гордона. Это было получено С.И. Похожаев^[1] и похож на Теорема вириала. Это отношение также известно как Теорема Д. Х. Деррика. Подобные тождества можно вывести и для других уравнений математической физики.

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Шредингера

Вот общая форма, связанная с Г. Берестыцкий и П.-Л. Львы.^[2]

Позволять ${ displaystyle g (s)}$ быть непрерывным и действительным, с ${ displaystyle g (0) = 0}$ .Обозначить ${ Displaystyle G (s) = int _ {0} ^ {s} g (t) , dt}$ .Позволять

{ Displaystyle и в L _ { mathrm {loc}} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad nabla и в L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad G (u) in L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad n in mathbb {N},}

быть решением уравнения

{ Displaystyle - nabla ^ {2} и = г (и)}

,

в смысле распределений. потом ${ displaystyle u}$ удовлетворяет соотношению

{ Displaystyle (п-2) int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u (x) | ^ {2} , dx = n int _ { mathbb {R} ^ { n}} G (u (x)) , dx.}

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Дирака

Позволять ${ Displaystyle п in mathbb {N}, , N in mathbb {N}}$ и разреши ${ Displaystyle альфа ^ {я}, , 1 Leq я Leq п}$ и ${ displaystyle beta}$ быть самосопряженный Матрицы Дирака размера ${ Displaystyle N раз N}$ :

{ displaystyle alpha ^ {i} alpha ^ {j} + alpha ^ {j} alpha ^ {i} = 2 delta _ {ij} I_ {N}, quad beta ^ {2} = I_ {N}, quad alpha ^ {i} beta + beta alpha ^ {i} = 0, quad 1 leq i, j leq n.}

Позволять ${ Displaystyle D_ {0} = - mathrm {i} alpha cdot nabla = - mathrm {i} sum _ {i = 1} ^ {n} alpha ^ {i} { frac { partial} { partial x ^ {i}}}}$ быть безмассовым Оператор Дирака.Позволять ${ displaystyle g (s)}$ быть непрерывным и действительным, с ${ displaystyle g (0) = 0}$ .Обозначить ${ Displaystyle G (s) = int _ {0} ^ {s} g (t) , dt}$ .Позволять ${ displaystyle phi in L _ { mathrm {loc}} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}, mathbb {C} ^ {N})}$ быть спинор -значное решение, удовлетворяющее стационарной форме нелинейное уравнение Дирака,